THHOIUE DE l'angle UNIQUE. 207 



le même raisonnement, on Irouveni une série de points 

 Q Q' ••• Q°, qui seront les plus rapprochés de A D qui 

 puissent exister entre A et Q" à droite. 



De même, en faisant R tours au-dessus deQ Q', etc., 

 on trouvera une série de points P' P" P° de plus en plus 

 rapprochés à gauche de A D, et tels que ce dernier P" 

 en soit distant de P — N Q <C Q. Ce dernier point sera 

 plus rapproché de A B qu'aucun de ceux qui précèdent. 

 De plus, il ne peut y en avoir aucun autre entre P" et 

 P" — ' à gauche de P" entre les directrices P° R etP" — ' B. 

 Car supposons qu'il en existât un, tel que z. Menons la 

 directrice z B. Le j)0int P" devrait être séparé de z B 

 par un angle moindre que Q. 



Or, pour trouver au-dessus de z, à droite de la direc- 

 trice z B, un point qui n'en soit pas plus éloigné que Q, 

 il faut faire plus de T tours. D'autre part, il ne saurait y 

 avoir T tours possibles entre z et P", Donc, tout point si- 

 tué entre P" et P"— ^ à gauche de P°, doit en être dis- 

 tant d'un angle plus grand que Q. 



On pourrait en dire autant de tous les points situés 

 entre P"— ^ et P° — -, à gauche de P"— S et ainsi de 

 suite jusqu'aux points situés au-dessous de P à gauche. 

 D'ailleurs il est clair qu'au-dessus de P° les distances de 

 gauche vont de nouveau en augmentant. 



Donc P" est le premier minimum plus petit que Q. 11 

 est situé de l'autre côté de A B et égal à l'avant-précé- 

 dent, diminué d'un nombre entier de fois le précédent. 



On pourrait répéter le même raisonnement sur P" et Q 

 envisagés ensemble. On trouverait du côté de Q une sé- 

 rie de points allant en se rapprochant de A B, et si P" est 

 compris M fois dans Q, on arrivera à un point distant à 

 droite de A B, de P" — M Q, plus rapproché de celte ligne 



