b LKS BASES DE LA PHYSIQUE MODERNE 



OÙ il y aurait des objets naturels remarquables atîectant à peu 

 près la forme des droites non-euclidiennes, et des corps naturels 

 remarquables subissant fréquemment des mouvements à peu 

 près pareils aux mouvements non-euclidiens. Envisageons, par 

 exemple, deux ligures identiques, l'une en til de fer, l'autre en 

 fil de cuivre, placées dans un champs magnétique. La figure 

 de cuivre se déplacera euclidiennement. tandis que ce ne sera 

 pas le cas pour la tigui-e de fer. En général, l'ensemble des 

 déplacements de celle-ci ne formera pas un groupe. On pourrait 

 conserver le langage euclidien et dire que la figure de fer subit 

 des déformations. Mais, il peut arriver que le champ magné- 

 tique soit tel que tous les déplacements forment un groupe. 

 Il est alors naturel d'adopter une géométrie non-euclidienne, 

 dont le langage permettra d'exprimer simplement les propriétés 

 générales observées, en définitive, de les mettre en évidence 

 avec le maximum de simplicité. 



Il existe une propriété fondamentale du groupe euclidien 

 dont nous allons donner l'expression analytique dans un cas 

 simple. Traçons, dans le continuum, un système d'axes tri- 

 rectangles S, et prenons deux points, dont un à l'origine. Leur 



distance 



d = ./■- + y- + z- 



reste invariable quel que soit le déplacement euclidien, que 

 l'on fait subir au système. Envisageons un second système 

 d'axes. S', orienté d'une façon quelconque par rapport au 

 premier, tout en ayant même origine, et soient x' y' z' les 

 coordonnées du second point par rapport à ce nouveau système. 

 On a évidemment : 



- = ./- + y- + c- = ./• - + ?y - + 2 - , 



et l'on dit que cette expression analytique de la distance est 

 \x\\ convarianti^) i\\i groupe euclidien, relativement aux équations 

 de transformation : 



•'•' = /"■(•'■, y, -21 ; y' = fjx,y, z) : z' = f^u, y , Z} 



') On dit <'■ convariant » plutôt qu' « invariant », car los grandeurs 

 d; ./•, y, z; r', y', z' sont des variables pouvant prendre n'importe 

 quelles valeurs, selon le second point envisagé. 



