A. PELLET. SUR LA SÉRIE DE NEWTON. 



M. A. PELLET, 



Professeur à la Faculté des Sciences ( Clermonl-Ferrand ). 



SUR LA SÉRIE DE NEWTON. 



2 Aoi)t. 



■ ) I" . 21 



_ I. Soient Xi, x-i, ..., x,„, m quantités positives non décroissantes; dési- 

 gnons par Sk la somme de leurs A'^'^^s puissances 



On a 



.9/, = 37^" -H 3^5 -H ... H- X%, . 



^. A-, A' étant des entiers positifs, les inégalités devenant égalité 

 seulement dans le cas où tous les x sont égaux. On en déduit 



ou 





Ainsi les racines de l'équation 



«0 — « 1 ^ -+- «2 .r2 — . . . -I- ( — I )'« a,i, x"> = o, 



étant toutes réelles et positives, on a, a;i et x,n représentant la plus petite 

 et la plus grande d'entre elles 



«, ^ ./;7i-— TTT^ < ^» < ;;f — ■ — < ^' 



v/a'î — 3 «,,«2 '^r — ■^âJo«2 



en faisant /.'== i, 2, et /.^i, 3<= i dans les formules (i). 

 Dans le cas où m = 2, on vérifie aisément que 



^ < —" < ^. < , "' "° < a^ < -f^ 



"I \/af 2«o«2 «ï — arto«2 «1 '2(72 



:i. Soit /(x) une fonction holomorphe, pour x = a et, en posant, 

 " JJâ) ^""' *"PP°^o^^ /(«+2 5î*o) holomorphe pour |9|5i; désignons 



