MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE ET GÉODÉSIE. — MÉCANIQUE. 



par M le module maximum de^ 



lorsque 6^ prend toutes les 



2f{a) 



valeurs de module plus petit que i, et posons Uo= \ih,\. Si l'équation du 

 second degré 



[Uo— Tr-4-M7r'-= o 



a ses racines réelles (i^ — 4MUo)>o, l'équation /(a+ZO = o auneracine 

 de module plus petit que la plus petite racine de l'équation précédente, 



par suite que TTîT < '^Uq, et cette racine est donnée par la série 



de Newton. En effet, en formant cette série pour l'équation /(a + /i) = o 

 et pour l'équation Uo— tt + Mt:-= o, on voit que les termes de la série cor- 

 respondant à celle-ci sont supérieurs ou au moins égaux aux modules des 

 termes de la série correspondant à la première. Nous supposons les coeffi- 

 cients de f{x) réels, alors il suffît de faire varier 9 de — i à + i. Pour 



l'équation 



/(« + iiq-+- A',) = o, 



on a 



«I 



= U' = 



u^f"(a^(i'u^) 



Mil 



•> /( a j -f- Uo f"(a-r-0"uo)\' i - -i M Uo 



M' = max. (le 



/"(a 



Uo- 



2 Ml 



■2/' (a -H Uo) 



M 



1 — 2MU0 



9 doit varier de — i à + 1 , et dans ces conditions | Wo + 2 0Ui | inférieur 

 à I ï/o+ 9uo\<. 2\Jo; 9' et 9'' sont inférieurs à i. Or, en remplaçant dans 



Uo — 71 + M7i^= o, 7î par Uo+ tti, on a précisément 



MVl 



M 



;iMUo 



1— 2MU0 



^î 



D'ailleurs, i — 4UoM'>o, l'équation en hi satisfait aux conditions 

 posées pour l'équation en /?, la proposition en résulte. 



En prenant Uq pour valeur approchée de la racine de l'équa- 

 tion i{a^h) = o, on commet une erreur de module inférieur à 



U'n 



— 2M'U' = I 



MU;^ri-2MUo) 



MUo-+-2M2Ug 



ô<MUg 



_2Mnj|_ 



— 4 Ml 



< 



2MUo^ 



— ^MUo' 



3. L'équation de Kepler peut se mettre sous la forme 

 (i) ;/ — e sin(/n -(- « j = o, 



e étant plus petit que i . On a 



Uo = 



e sin ni 



I — e cos m 



M = max. 



ecos(m -f- 2 G Uo) 

 ■2(1 — e cos m) 



7.i I — e co« /» ) 



La série de Newton est convergente si 



(i — e cosm y^ — 2 e-\ sin /ii \ > o, 



