A. GÉRARDIN. ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES. II 



d'où l'on tire immédiatement 



'i{a-{- b — ig) 



m = --— • 



•3^2— (a2-i-a6H-62) 



Nous pouvons supposer g nul, et nous avons 

 X = 2a^-+-iab— b-, y — ib^-hiab — a^, f = a'^ -^ ab -\- b'^ . 



Il resterait alors, dans ce cas, 



et il faudrait égaler à un carré, en valeurs entières ou fractionnaires 



36(a — è)(a2+a6-h 62). 



Mais ce cas est le plus difficile et nous pouvons le laisser de côté, si nous 

 ne cherchons pas toutes les solutions générales, mais seulement quelques- 

 unes. 



Nous étudierons donc seulement d'une façon plus complète le cas où il 

 faut annuler dans (2) le terme connu; il vient simplement 



f=(2x+y), ni = — ^-- — ^ ^ .^ — , 



on trouve ainsi 



\ z= y^-+- 3.r^y -h i^xy- — x^, Y = i8jk^ — 9-^^^ — O-^^J'î 



Z = 3^2 -+- xy -+- "jy^. 



Pour rendre symétrique cette valeur de Z, il suffit de poser 

 a-2 ^xy-}- -y"- = p-^ -^ pq ^ '/^'' 



d'où, en multipliant par 4, 



{o.x -^yY-\-Z{Zy^-=. {% p -^ qY -^ Z cf- , 



y=-q, x=p-^^q, \ =^ q^ -\- "i pq'^ — p^, 



Y =— ^pq( p -i- q), 7.—p^-¥pq-^q 



2 



En 1879, Desboves [A^. A.^ formule (8) avec a=è=i] avait indiqué 

 la même solution, mais notre méthode semble plus rapide; elle est, d'ail- 

 leurs, la simplicité même. 



La valeur de X — Y ne peut jamais représenter un cube, en nombres 

 entiers ou fractionnaires, puisque l'on sait quç X^ — Y^ ^ A^ ; ainsi 



yj3-l- 6/>2^ -i- 3yD^2 — qT. 

 n'est jamais un cube. 



Dans beaucoup de problèmes classiques, notre méthode donnera natu- 

 rellement des résultats connus, mais on verra nettement son avantage, 

 à mesure que croîtront les difficultés. 



