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GASTON TARRY. — LES IMAGINAIRES DE GALOIS 



a-\-bj, a et b étant tous deux différents de zéro. Si je comprends dans e 

 corps quadratique les nombres réels, c'est uniquement pour éviter la 

 considération de cas particuliers, qui entraînerait des complications 

 inutiles. 



Nous dirons que les deux nombres a + bj et a — bj sont imaginaires 

 conjugués et que les quatre nombres ±z a± bj sont associés. Nous appel- 

 lerons norme d'une mapinaire a + bj le produit {a + bj) (a — bj), qui sera 

 représenté par N {a + bj). La norme est toujours un nombre réel «^ — b'^j'. 



Remarquons que dans toute congruence du deuxième degré, 



cc^-{- xpx -\- q =■ o, 



les deux racines appartiennent toujours au corps quadratique et que, 

 dans le cas où l'équation est irréductible, les deux racines sont imagi- 

 naires conjuguées, — p ± y'' V'' — (7- 



Les imaginaires du corps quadratique. 



On a évidemment 



( a -t- bj )"^ — rt'" + 6'«y'" ( mod m ). 



Or, en vertu du théorème de Fermât, o'" = a et 6'" = b. D'autre part, 



/'" =z / (/2) 2 ^ et l'on sait que /^ étant un non-carré (/-) - est congru 



à — I. Donc, 



{a-^hj)'"^a — bj. 



De cette égalité fondamentale on déduit les deux théorèmes suivants : 



Théorème de la norme. — La norme d'un nombre quadratique est 

 égale à la puissance m-\- 1 de ce nombre. 



En effet, on déduit immédiatement de l'égalité fondamentale 



N(« -^ bj) = {a + bj){a — bj) = (a -t- bj){a + bj)'" = (a -H bj)"^+K 



Théorème généralisé de Fermât. — m étant un nombre premier, 

 a et b deux nombres non divisibles par m, j la racine carrée d'un nombre réel 

 non reste quadratique de m, on a 



(«-+- bj)'"--^— I = o. 



Nous savons qu'on a 



(a -!- bj )'" = a — hj 

 et, par conséquent, 



(a -\- bj)'"' = (a — bj)"^ = « -h bj. 

 Divisant par a-{-bj, il vient 



( <l -h hj )i"^-^= I C. Q. I-. I). 



