l4 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE ET GÉODÉSIE, — MÉGANIQUE. 



Il résulte de cette généralisation que les m^ — i nombres du corps 

 quadratique sont 7n- — i racines différentes de l'équation x"''"'^ — ^ i = o de 

 degré m'^ — i. Ce qui établit l'identité des imaginaires de Galois du 

 deuxième ordre avec les imaginaires du corps quadratique. Dans ce 

 Mémoire, je ne m'occuperai que des imaginaires du deuxième ordre. 

 Remarquons que toute imaginaire du deuxième ordre est racine d'une 

 équation irréductible du deuxième degré 



X- — 'lax -h Cl' — b'-j- = o. 



Généralisation des théorèmes sur les congruences. 



Les racines imaginaires de Galois possèdent les propriétés associative 

 et commutative de l'addition et les propriétés distributive et commuta- 

 tive de la multiplication. Ces propriétés deviennent évidentes pour les 

 imaginaires du deuxième ordre vues sous l'aspect d'imaginaires quadra- 

 tiques. 



On sait que ces propriétés caractéristiques des opérations fondamen- 

 tales de l'Arithmétique suffisent pour étendre aux nombres imaginaires 

 qui les possèdent toutes les propriétés arithmétiques démontrées pour 

 les nombres réels. C'est pourquoi il nous sera permis de considérer les 

 théorèmes suivants comme rigoureusement démontrés. 



Un produit de facteurs quadratiques, réels ou imaginaires, ne peut être 

 nul que si Vun des facteurs eÉt nul, c'est-à-dire congru à zéro. 



Une congruence de degré r ne peut avoir plus de r racines appartenant 

 au corps quadratique, une racine d^ ordre k complanl pour k racines. 



La suite des nombres 



1, (a^bj), {a^bjf, {a-^by, ... 



est périodique, et si g est le nombre de termes de la période, on a 



( a -h b/ }^' — i = o (iiiod/»), 



g est dit le gaussien de a + bf par rapport au module premier m. 



Le gaussien est toujours un diviseur de in^ — i et, dans le cas particulier 

 où il est égal à m^ — i, le nombre a -\- bf est une racine primitive du 

 deuxième ordre, c'est-à-dire un nombre tel que ses puissances successives 

 engendrent les m- — i nombres du corps quadratique. Remarquons que 

 si a ou b est différent de zéro, a + bj ne peut être racine primitive du 

 deuxième ordre. En effet, 



a"i-i — I = o. C^y)- '"""— I = (b^J-)'"-^ — 1 = o, 



et le gaussien est inférieur km- — i . 



La congruence binôme x'"'"'^ — i — o a (m^ — i) racines primitives. 



