GASTON TAHRY. — LES IMAGINAIRES DE GALOIS 



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Il nous parait inutile d'allonger la liste de ces théorèmes; le lecteur la 

 complétera au besoin. 



Après avoir donné une existence effective aux racines imaginaires du 

 deuxième ordre, nous allons procéder à la recherche des racines primi- 

 tives de la congruence x"'''~^ — i = o, en nous basant sur trois théorèmes 

 établis pour les nombres réels. Ces théorèmes s'étendent de droit aux 

 nombres imaginaires, et si nous en donnons les démonstrations directes, 

 c'est uniquement pour qu'il ne subsiste aucun doute dans l'esprit du 

 lecteur au sujet de cette extension. Il suffira de copier les raisonnements 

 classiques. 



Les trois théorèmes sur les gaussiens. 



Théorème 1. — Si a -'r bj a pour gaussien g, a' + b'j pour gaussien g', 

 et si g' est un diviseur de g, a' -\- h' j est une puissance entière de a -{- bj. 

 ]^ei g nombres de la suite 



(a-hbj). {a^bj)^ {a^bjy 



sont tous différents et sont toutes les racines de la congruence x^ — i = o, 

 puisque cette congruence ne peut avoir plus de g racines. 



D'autre part, g = g'd et les g' nombres tous différents de la suite 



{a + bj f, {a + bj f-d, . . . , (a-{- bj )ff''' 



sont aussi toutes les racines de la congruence x^ — i = o. 



Or, f/'4- b' j est l'une des g' racines de la congruence x^' — i = o. Donc, 

 le nombre a' -{- b' j est l'un des nombres de la suite {a + hjY'^ {a + h)''', ... 



(G. Q. F. D.). 



Théorème 2. — Si a -{- bj à pour gaussien g, a' -\- b' j pour gaussien g', 

 et si g et g' sont premiers entre eux, (a + bj) («'+ b' j) = p -\- qj a pour 

 gaussien gg'. 



p + yj n'étant pas égal à zéro a un gaussien h et 



( a -h bj )'i^{a' ^ b j )'' = \ . 

 On a 



(a -1- bj)i'S{a'^ b' j)''s=z i, 



el comme 



on peui écrire 



{a^bj)i'S= [, 

 (a'-i- b'j}''h'= I. 



Or, a' -\-b' j a pour gaussien g'; ceci exige que hg soit un multiple de g', 

 et puisque g et g' sont premiers entre eux, ceci exige enfin que h soit un 

 multiple de g . On verrait de même que h est un multiple de g. Mais h 

 étant un multiple commun de g et g', qui sont premiers entre eux, est 

 un multiple de gg' . 



