l6 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE ET GÉODÉSIE. — MÉCANIQUE. 



Or, la plus petite valeur possible de h est gg'. 



Donc {a + bj) {a' -\- b' j) = p -]- qj a pour gaussien gg'. (c. q. f. d.) 



Théorème 3. —Si a + bj a pour gaussien g, a' + b'j pour gaussien g', 

 si aucun des nombres g et g' n'est diviseur de Vautre et s'ils ont un plus 

 grand commun diviseur autre que V unité, on peut toujours trouver un nombre 

 (a + bJY (a'+ b'JY' quia pour gaussien le plus petit commun multiple n 

 de g et g'. 



On sait décomposer n en deux facteurs premiers entre eux qui sont 

 respectivement des diviseurs de i,' et g'. Soit don^^ 



« = - ^ , 

 e e 



g g 



- et -7 étant des nombres premiers entre eux. 



a + bj ayant pour gaussien g, les g nombres 



(« + *y ), {a^bj)K .... ( a -v bj )^ 



sont tous différents; parmi eux les ^ nombres 



e 



{a-^bJY, (a-hbjye. ..., (a-^bjy'' 

 sont tous différents et le dernier {a + bjy est congru à l'unité. 



Par conséquent, le nombre (a + bjY a pour saussien ^. 



e 



Pareillement, le nombre {a' + b' jY' a pour gaussien ^, • 



Or, les deux gaussiens ^ et ^ sont premiers entre eux. 



Donc le nombre (a + bJY {a' + b' jY' = p + qj a pour gaussien 



O- or 



e e "• ^- "3- P- "• 



Recherche des racines primitives du deuxième ordre. 



Essayons un nombre quelconque a + bj, a ^ o et b ^ o. 



a-j-bj a nécessairement un gaussien g supérieur à l'unité. Si g = ?n^ i , 



a + bj est racine primitive. Supposons g < /n-~i et désignons par a' + b' j 

 un nombre qui ne figure pas parmi les g premières puissances de a + bj 

 et soit g' son gaussien. Si le nouveau gaussien g' est égal à /?/'- — i, «' + ô'/ 

 est racine primitive. Supposons g'<m-— 1. 11 est clair que g' n'est pas un 

 diviseur de g, autrement a' + b'j figurerait parmi les puissances de a + bj, 

 contrairement à l'hypothèse. En conséquence, le théorème '2 ou 3 sur les 

 gaussiens nous permettra de trouver un nombre ayant pour gaussien gg' 

 ou le plus petit commun multiple de g et g'. Si ce nouveau gaussien n'est 



