GASTON TARRY. — LES IMAGINAIRES DE GALOIS I i3c 



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i.n égal à m- — i, nous saurons trouver un autre nombre dont le gaussien 

 -ora un multiple du précédent, et ainsi do suite, jusqu'à ce que nous arri- 

 vions enfin à trouver un nombre dont le gaussien soit égal à m^ — i. 



On voit que le procédé employé pour obtenir une racine primitive 

 du deuxième ordre est identique au procédé classique qui sert pour la 

 recherche des racines primitives du premier ordre. Mais les essais portent 

 sur (m — 1)2 nombre pour le deuxième ordre et seulement sur m — i 

 nombres 'pour le premier ordre. 



J'ai cherché à réduire le champ des recherches dans la mesure du pos- 

 sible, et je crois y être arrivé grâce au théorème suivant : 



Théorème de RÉDrcTioN. — Pour qu'un nombre a + bj soit racine 

 primitive du deuxième ordre, il faut et il suffit : i" que sa norme soit une 

 racine primitive r du premier ordre; 20 que les rapports d'inclinaison de ses 

 m premières puissances soient tous différents. 



Mon mode de représentation géométrique des nombres imaginaires 



b 

 m'a conduit à appeler rapport d'inclinaison du nombre a -f bj le rapport - • 



1° Il est nécessaire que la norme de a + bj soit un /•. 

 En effet, si la norme n'était pas une racine primitive du premier 

 ordre, on aurait 



( a- — ù-J'^ /• =1 ^/^^fn.~i ), 



par suite, 



(a + 6y)''«+"/'^= («2— bij2)^ = i 



et le gaussien de a-{-bj serait inférieur à nt^ — i . 



2° Il est nécessaire que les rapports d'inclir^aison des m premières puis- 

 sances soient toutes différentes. 



Considérons les puissances de a + bj d'exposants peiq, q<p<m-\- i. 



' (a + bj)i>= ai,->r b,,j. ( a -^ bj )'i = a,, h- b,,j. 



Je dis qu'on ne peut avoir -^ = -^ . En effet, il pu résulterait 



a,, a,, 



(a + bjy ^ (t„-b,J ^ ""y a„J) ^ a,^ 

 ( a -+- hjyi a,, -4- b,,j ^ / , _ j^/ A C; ' 



d'où 



fit/ \^^</ / 



et le gaussien de a + bj serait inférieur à m^ — i . 



Ecrivons sur une page de m — 1 lignes les m"^ — i puissances successives 

 de a + bj, disposées en m -f- 1 colonnes. 



*2 



