l8 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. MÉCANIQUE. 



Nous aurons le Tableau suivant : 



{a~bj). (a.-^bij), (a„,+i^ b,„^ij). 



rUi -\-bj).. fictif b,j) r(a,n + 'i^b,„^J ). 



ri(a + bj). r''-(a.+ b,j) r"-{a,„-^i-^- b,„^^i ). 



• ■ • ) • ■ • . , 



r"'-Ha-^bj). r"^-^(a.,-hb,j), .... r'"-Ha,„+i-i- b,„^,j), 



Dans ce Tableau, tous les nombres d'une colonne ont le même rapport 

 d'inclinaison, et dans deux colonnes différentes ces deux rapports sont 

 différents. D'autre part, les m — i nombres d'une colonne quelconque 

 sont évidemment différents. Il résulte de là que les ??i' — i nombres de ce 

 Tableau sont les m- — i nombres du corps quadratique. Ce qui démontre 

 que les deux conditions énoncé&s par le théorème de réduction sont suf- 

 fisantes. 



Dans la pratique, la nécessité de calculer les rapports d'inclinaison 

 allongerait le travail; la proposition suivante nous dispensera de ce 

 calcul. 



Théorème. — Pour que les rapports d' inclinaison des m + i premières 

 puissances de a + bj soient tous différents, il faut et il suffit qu'aucune des 

 ni premières puissances de ce nombre ne soit congrue à un nombre réel. 



Cette condition est évidemment nécessaire car, si {a + bj)'\ p <.m ^ i 

 était un nombre réel, son rapport d'inclinaison serait le même que celui 

 do (a+ô/)'"+i, c'est-à-dire zéro, comme pour tous les nombres réels. 



Je dis que la condition est suffisante, qu'on ne pourrait avoir, par 



exemple, -^' = -^> q<p<m -\-i.^n effet, on aurait alors 



a,, Ur, 



( a -^ hj )!• _ a,,-+- bpj ^^' y ' a,,^ 



h,. 



ia-^bjyi a,,^ bJ 1 b,, . 



— j 



(tq i 



c'est-à-dire {a + bfY "< égal à un nombre réel — ; contrairement à l'hypo- 



(Iq 



thèse. 



Il résulte de ce qui précède que le théorème de réduction peut 

 s'énoncer sous cette autre forme : 



Pour qu'un nombre soit racine primitive du deuxième ordre, il faut et il 

 suffit : lO que sa norme soit une racine primitive r du premier ordre; 

 2" qu'aucune de ses m premières puissances ne soit un nombre réel. 



Nous verrons qu'il sullit même, pour que la seconde condition soit 

 satisfaite, qu'aucune puissance d'exposant inférieur au nombre ^ ~'~ ^ 

 et diviseur de ce nombre ne donne une imaginaire simple. 



