GASTON TA.RRY. — LES IMAGINAIRES DE GALOIS i3c 



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A chaque racine primitive /■ du premier ordre correspondent de la 

 sorte des racines primitives du deuxième ordre dont le nombre est indé- 

 pendant du choix de /', comme nous le démontrerons. 



Or, le nombre des r est égal à 9 (m — ^i) et celui des racines primitives 

 du deuxième ordre à 



o ( //(■- — I ) = 2 9 ( m -H I ) 9 ( /;i — I ). 



Donc, à chaque racine primitive du premier ordre sont aiïérentes 

 ■20 {m + i) racines primitives du deuxième ordre. 



La nouvelle marche à suivre pour trouver une racine primitive du 

 deuxième ordre est toute indiquée et, dans la pratique, les calculs se sim- 

 plifieront. Un seul exemple suffira pour se rendre compte de la nature 

 de ces simplifications. 



Application au module 29. 



Nous choisirons / = ^/a et /'=2. 



La première condition à laquelle doit satisfaire la racine primitive 

 cherchée x + yj est x- — ?/"/"= 2, soit rc^= 22/^ -\- 2. 



Donnons à y les valeurs successives i, 2, 3, ... jusqu'à i4 = 



calculons les valeurs correspondantes de 22/-+ 2, et ne considérons que 

 celles qui donnent des nombres carrés x^. 



2.12+2= 4= 22. 2. 82+2= 14, 



2.22+2=10. 2. 92+2=19, 



'2. I02 -t- 2 = 28 = [22, 

 2. I l2+ 2 = 12, 

 2. .122+ ., — o. 

 2 . I 3 2 + 2 = 2 [ , 

 2.142+2 = 17. 



7 valeurs de 2Z/"--f 2 donnent des carrés pour x-, d'où 7 nombres à 

 essayer, ou plus exactement 7 groupes de nombres associés, car à chaque 

 système de valeurs de x^ et y^ correspondent les nombres associés ±ix±yj. 

 Mais on voit aisément que si un nombre est racine primitive, ses associés 

 sont aussi des racines primitives, ce qui nous permet de limiter les essais 

 aux 7 nombres suivants 



2 + y/a. 7 4-3 }/-2, 1 1 + 4 V^- 9 -^ ^ \fï- 



4 -4-6/2, 10 -H 7 \/2, I2-|-!OV^. 



Essayons 2 + \/2. Arrivés à la cinquième puissance, nous trouvons . 



(2 + v/2)-5 = — 10 /2, 



