ao MATHÉMATIQUES, ASTRO^'OMIE, GÉODÉSIE. — MÉCANIQUE. 



et il est inutile d'aller plus loin. Passons à 4 + 6v2; nous serons 

 arrêtés à la troisième puissance, parce que (4 + 6 y/â)^ — — 5 v/2. Enfin, 

 si nous essayons 10 + 7 V^^, il y aura arrêt à (10 + 7 v'2)^= io\/2. 



Sur nos 7 nombres, nous venons de constater que 3 n'étaient pas racines 

 primitives. Il en resterait 4 à examiner, mais, comme nous savons qu'il 

 y a 29(m + i) = 16 racines afférentes à r = 2, nous sommes assurés que 

 les 4 nombres non examinés fournissent 16 racines primitives 



± 7 ± 3 \/^, ±\i± \ v^â, ± 9 ± 5 y/^- ± 1 2 ± 10 \/^. 



D'autres simplifications se présenteront quelquefois dans les calculs, 

 absolument comme dans la recherche des racines primitives du premier 

 ordre. 



Problème. — Connaissant les racines primitives B. du deuxième ordre 



afférentes à une racine primitive r du premier ordre, calculer les racines 



primitives du deuxième ordre afférentes à une autre racine primitive r' du 



premier ordre. 



r' 

 Soit e^ le nombre carré égal à - et a + 6/ l'une quelconque des racines 



connues R. Je dis que e{a + bj) est une racine primitive afférente à /■'. 

 En effet, les m-fi premières puissances de e{a + bj) ont évidemment les 

 mêmes rapports de direction que les m-{- 1 premières puissances de a-fè/, 

 ce qui établit que ces rapports sont tous différents. D'autre part, 



D'où l'on conclut que e{a + bj) est une racine primitive afférente à ;■'. 



Le raisonnement étant général, nous pouvons conclure de là que les 

 racines afférentes à un /■ c[uelconque ne peuvent être en nombre moindre 

 que celles afférentes à un autre r; ce qui implique l'égale répartition des 

 Qs(m^ — 1) racines primitives du deuxième ordre entre les 9(m — t) 



nombres r, soit pour chacun d'eux 29(^ + 1), ou — groupes 



associés. 



Ainsi, pour le module 29 et r = 2, nous avons trouvé les — — 31_f _ /^ 

 groupes associés. 



d:7±3v'2, ± 1 1 ± 4 v/2, ± 9 ± 5 \/2, diiazh 10^/2. 



Pour obtenir les racines afférentes à r = 3, il nous suffira de les multiplier 



3 

 par 4, puisque 4^ = -; ce qui nous donnera 



± I ± 1 2 \/2, zh 1 4 dz I 3 /I, ± 7 ± 9 \^^, ± 10 ± 1 1 y/2. 

 Nous venons de voir que la recherche des R afférents à un r est ramenée 



