GASTON TARRY. LES IMAGINAIRES DE GALOIS 



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à un triage de '^ ^^ groupes de racines associées parmi les groupes do 



nombres associés ±x±yj dont les normes x^ — y-j- sont égales à r. 



Cherchons à connaître le nombre de ces derniers groupes. 



La géométrie modulaire nous apprend que l'équation a;- — y'^j^^r 

 représente une ellipse modulaire dont les axes sont sur les axes de coor- 

 données, et que le nombre de points réels d'une ellipse moléculaire est 

 w + r. (Voir L'essai de Géométrie analytique modulaire, par G. Arnoux, 

 auquel j'ai collaboré avec G.-A. Laisant.) 



Mais X et y doivent être différents de zéro, ce qui exclut les sommets 

 de l'ellipse dans le compte des solutions. Il n'y a jamais de sommet sur 

 l'axe des X, puisque pour y^o l'égalité x^ = r est impossible. Sur l'axe des 



y. X = n donne y~ = — —■, — est un carré et l'on sait que — - est carre 



ou non, c'est-à-dire qu'il y deux sommets ou aucun, suivant que m est 

 delà forme 4^ + i ouf^q — i. Il résulte de là que pourm = 49 — i, tous les 

 points de l'ellipse fournissent des solutions en nombre m-\-i ou 4? et que 

 pour m = 4 9 -+- i, il faut diminuer de 2, ce qui amène le nombre de solu- 

 tions à 4(7- 



En résumé, pour tout module premier w = 4 5^ ± i , il y a 4 ? nombres, ou 

 q groupes de nombres associés, dont la norme est égale à un r donné. D'où 

 l'on conclut que le nombre maximum des essais à faire pour trouver une 

 rac-ine primitive du deuxième ordre est 



tp ( «H- I ) 



Voici les résultats obtenus pour les premiers modules, en désignant 

 par 9 le nombre ^ et par e le nombre maximum d'essais: 



mod 3: g=i, f = i, c = o; niod ") 



inod 7: '7 = 2, 'f = 2, e = o; mod i i 



inodi3: 7 = 3, tp = 3, e = o; mod 17 



mod 19 : 7 = J, '■f = 45 e = i ; mod 23 



mod 9.9: </ = 7, 9=\- « = 3; mod3i 



mod 37 : 7 — 9. 9 = 9, ^ = o ; mod 4 1 



7=1, (p= I. 



e — o 

 e = 1 

 <y = 4. Ci = 3. e = I 

 cj =1 6, (^ = 4- ^ 

 q = S. «f> = 8, e = o; 

 gr = 10. es = 6. e = 4 • 





On remarquera qu'il n'y a pas d'essai quand m+i est de la forme 2''', 

 ou égal au double d'un nombre premier. 



Indices. 



Soit a + hj une racine primitive de .r"''"' — 1 = 0. Les nombres 

 ( a -■ hj ). {a^'-hjy- i a -\- bj)'"'-^ 



