22 MATHEMATIQUES, ASTRONOMIE, GEODESIE. MECANIQUE. 



sont modulairement égaux, à rordrc près, aux in- — i nombre du corps 

 quadratique. Par conséquent, p + qj étant un nombre quelconque autre 

 que zéro, un des nombres de cette suite et un seul est égal à /> + qj. 

 Soit (a + hjY ce nombre; a est dit V indice de p -p qj dans le système 

 d'indices de base a + bj et de module m. 



Toutes les propriétés des indices analogues aux logarithmes, démon- 

 trées pour les nombres réels, s'étendent évidemment aux nombres ima- 

 ginaires, en vertu de raisonnements identiques. En particulier, tout 

 nombre d'indice 2 a est égal au carré du nombre d'indice a. 



Nous appellerons carré par rapport au module tout nombre d'indice 

 pair, et non-carré tout nombre d'indice impair. On verrait sans peine 

 que le changement de base ne modifie pas le caractère quadratique d'un 

 nombre. 



De cette définition, l'on déduit immédiatement les théorèmes suivants 



Le produit de deux carrés est un carré; 



Le produit de deux non-carrés est un carré; 



Le produit dhin carré par un non-carré est un non-carré. 



Considérons un carré quelconque /; -|- qj = (a -\- bj)'^'^. On a 



m- — 1 rn- — 1 



(P-^9J) ' =['«-1-6»'*] - =(« + 6/j 



ni — \'X — 



Donc, il y a nombres carrés; ce sont les nombres p + qj tels 



qu'on ait 



ou 



Caractère quadratique. 



En vertu du théorème généralisé de Fermât, on a 



Up + 9J) ' — • J liP + '/./) ' + U == •• 

 Par suite, l'un des deux nombres 



/ii- — \ in'^ — ï 



ip-^9J) - — ï OU (p-^(jj) 2 +1. 



est congru à zéro. Ils ne le sont pas d'ailleurs tous les deux, puisque leur 

 différence, qui est 2, ne l'est pas. Or, nous venons de voir que si ;; + qj 

 est carré, on a 



m"-—l 



(p + «z/ ) ' --1 = 



et réciproquement. 



