GASTON TARRY. — LES IMAGINAIRFS DE GALOIS 



Donc, si /; + <7/ *'st un iiMii-(^arré, on a 



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;/(- — ! 



Ainsi /> + qj est carré ou non-carré suivant que ip^qj) " est égal 

 à +1 ou —I. D'autre part, on sait que la norme p- — q^j- de p + qj est un 



nombre carré ou non-carré suivant que (//' ^q'j'^) ' est égal à + 1 ou — i . 

 Donc : 



Théorème. — Un nombre imaginaire du deuxième ordre est carré ou 

 non-carré suivant que sa norme est un nombre carré ou non-carré. 



On remarquera que le nombre imaginaire simple bj, à norme b'^p, est 

 carré dans les modules \q — i et non-carré dans les modules 4? + i- 



Dans notre procédé simplifié pour la recherche des racines primitives 

 du deuxième ordre, tout nombre à essayer a pour norme un 7% c'est-à- 

 dire un non-carré, et est par conséquent un non-carré. C'est pourquoi il 

 nous a suffi d'examiner les puissances dont les exposants sont des divi- 



seurs de • 



Caractère Qi-AURATiQUE DE — 3. — j ^ajouterai une curieuse remarque 

 basée sur la propriété du nombre jn- — i d'être toujours un multiple 3, 

 lorsque m est impair. 



x^ — 1 = {x — I ) (z- 4- X- + I ) et les racines de l'équation a;^ + a; + i = o 



sont 



— I d= y/— 3 



2 



Si 3 divise m — i les racines de a;' — i = o sont toutes réelles; par consé- 

 quent V^^^ est réel et — 3 un carré. Si 3 ne divise pas m — i, il divise 

 nécessairement /H-f i, et les racines de a;2-fa;4-i=o sont imaginaires 

 conjuguées; ce qui exige que v — 3 soit une imaginaire simple bj et — 3 

 un non-carré. 



Nous retrouvons par une autre voie cette proposition bien connue : 



— 3 est carré ou non-carré pour un moduJe premier m, suivant que m — i 

 est divisible ou non divisible par .'. 



CONCLUSION. 



Considérons la c(jngruence de degré r, j{x) = o (mod m). 

 On sait que le théorème de Fermât permet de trouver les racines du 

 premier ordre de cette équation, ou les facteurs du premier degré de /(;c). 

 Pareillement, le théorème généralisé de Fermât nous permettra de 



