'■(G MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. MÉCANIQUE. 



Les questions qui suivent et autres semblables pourraient être utilisées 

 dans le but qui vient d'être ainsi défini; il est à croire qu'un recueil de 

 problèmes analogues dans les diverses branches des sciences mathéma- 

 tiques serait le bienvenu de3 jeunes gens désireux de s'initier rapidement 

 aux idées qui font l'objet de ces mêmes sciences. 



I . Un Ouvrage en neuf volumes est rang ï dans V ordre suivant : 9,7,6,3,8 

 L\, 1,5; comment s'y prendre pour le ranger dans V ordre naturel, avec le 

 moins d'' opérations possibles? Les groupes de numéros suivants sont dans 

 l'ordre voulu : 7-8, 3-4-5, i -2. Prenons le second, qui est le plus nombreu x 

 et faisons passer successivement : 2 en avant de 3, i en avant de 2, 6 après 

 5, 7 après 6, 8 après 7 et 9 après 8, on aura satisfait aux conditions im- 

 posées après six opérations. 



On généralisera aisément cette question. 



II. Un Ouvrage en n volumes est rangé de droite à gauche; le ranger de 

 gauche à droite à Vcdde de déplacements successifs de deux volumes à la fois 



La permutation n, n — i, ..., 3, 2, i présentant — ^— ^inversions, et ce 



nombre étant pair ou impair suivant que n est 4 -}- o, i ou 4 + 2, 3, pour 

 amener cette permutation à coïncider avec la permutation i, 2, 3, ..., n 

 il faudra avancer les volumes vers la gauche, de telle manière qu'il y aura 



au moins passages d'un volume par-dessus un autre. Certains de 



ces volumes pourront reculer ensuite vers la droite et revenir vers la 

 gauche, mais cela ne changera pas la parité du nombre des passages. 

 D'ailleurs, puisqu'on déplace deux volumes chaque fois, le nombre des 

 passages doit être pair. Ainsi, le problème est impossible si ?2 est de Fane 

 des deux formes 4 + 2,3. 



Le problème est possible si n est de Vune des deux formes 4 -|- o, i ; c'est ce 

 qui résulte de l'examen de ce qui suit. Voici une solution pour « = 9: 



987654321 

 2 I 4 3 6 5 S 7 9 

 142358 () 79 

 1 2 3 4 5 G 7 8 9 



En général, oh aura les trois séries d'opérations suivantes : si /i=4-|-i, 

 on déplacera successivement vers la gauche {n — 1)-(« — 2), ..., 8-7, 6-5, 

 4-3, 2-1 ; puis 1-4, 5-8, g-12, ... et en dernier lieu, 2-3, 6-7, lo-i i, .... Si n 

 est 4, on agira de même, si ce n'est qu'on commencera par déplacer 

 n — {n — i). Cela fait, dans les deux cas, n mouvements. 



On pourra s'exercer à résoudre cette question en déplaçant trois 

 volumes chaque fois : les cas de solubilité sont bien moindres, mais il y en 



