AUGUSTE AUBRY. — PROBLÈMES ABSTRAITS. 49 



par des coordonnées cartésiennes x, y; soient de plus F{x, y) une fonction 

 entière donnée et «, b, c, ... des nombres entiers donnés auxquels corres- 

 pondent des couleurs également déterminées : la case {x, y) sera par exemple 

 de la couleur c si le reste de la division de F (.r, y) par n est égal à c. 



Je n'ai examiné que les trois cas généraux suivants : 



La case (a;, y) est mise en noir quand le reste de la division de x -\- y 

 par n est zéro ou un nombre pair. On a un carrelage à deux teintes dou- 

 blement symétrique. 



La case {x, y) est grise ou en noir, selon que le reste de la division de 

 x^ + y' par }i sera un multiple de 3 augmenté de i ou un multiple de 3 

 diminué de i . De là, un carrelage à trois teintes, qui, de même, est double- 

 ment symétrique. 



La case (x, y) est grise si le reste de la division de x, y par n est zéro; 

 elle est noire quand ce même reste est un résidu quadratique de n aug- 

 menté du nombre donné a. On a ainsi un carrelage à symétrie diagonale. 



Le nombre n doit, pour amener un eiïet satisfaisant, être premier. 

 J'ai examiné tous les cas jusqu'à 71 = 29; certains résultats sont assez 

 intéressants. 



On pourrait étendre cette théorie de plusieurs manières, entre autres 

 aux assemblages d'hexagones, en prenant, comme axes de coordonnées, 

 deux lignes de centres d'hexagones inclinées à 120° l'une sur l'autre. 



\'lll. Le lemme de BacJiet ou lemme fondamental de la théorie des 

 nombres peut être représenté de plusieurs manières; la plus générale est 

 le dessin appelé satin dont j'ai amplement parlé dans un article deV Ensei- 

 gnement mathématique sur V Algèbre des quinconces (i«9ii, p. 187). On 

 peut le représenter également ainsi : 



Deux roues ayant des nombres de dents premiers entre eux et engrenant 

 ensemble^ toute deni de c/iacuiic passe par tous les intervtdles des dents 

 de Vautre. 



Une troupe composée de a (ompagnies, comprenant chacune b rangs 

 numérotés de i à b, marche de manière que chaque rang met une seconde 

 pour arriver à V emplacement du rang qui le précède. Un officier, partant de 

 V arrière cl dUnnl vers ravaiil en marchant ., (a + fois plus vite que les 

 soldats, rencontrera chaque seconde un des numéros désignés tout à V heure 

 et ne le rencontrera (prune fois. T>os nombres a -j- i et b sont supposés 

 premiers entre eux. 



La musique peut donner le sujet de questions analogues. Par exemple 

 la succession 



do fa st 1 /iii-> la-, fr-, sol ^ do 7 ini 'la ré sol 



est une figuration musicale du satin carré de 12. De même, les armatures 

 des clés en dièzes ou en bémols sont des satins de 7. On pourra examiner 

 aussi ce que deviennent les intervalles de deux notes montant ensemble, 

 l'une par quartes et l'autre par quintes, par exemple; ou bien encore 



