02 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. MÉCANIQUE. 



Telle est la valeur du côté du triangle équilatéral minimum inscrit. 

 La position du sommet A' de ce triangle déterminera la situation de ce 

 triangle. On a pour A'B 



A'B = 



X sin Y 

 <inB 



2 S V 1 



y/ôs 



ou 



2 R [ c — 6 cos ( 6o" -1- A ) ] v/'i 



S v/3 b \/a2+62+fî-f-4S ^3 



iac[c — h cos(6o''-f- A)] 



Bi (7) A'B= 



De même 



(8) A' G 



a^ 



iSv/3 



■2ab[b — c cos(()0''-4- A)] 



«2 + 62 -H C2 -+- 4 S v/3 



Et l'on retrouve bien 

 A'B-4- A'C = a. 



2. Construisons maintenant sur 

 chacun des côtés du triangle ABC des 

 triangles équilatéraux DCA,, CABj, 

 et ABCi,dont les sommets Ai,B|, Ci 

 sont situés vers l'extérieur du tri- 

 angle. Calculons la longueur AAi. On 

 a, dans le triangle ABAj, 



A A , = r/2 -L- c2 — . 2 oe cos (^ B -K (jo" ) 



= a- -h c- — 2«c( cosB cos(jo" — sin B sin6o") 



«2-1- b^- 



•2 S v 3 = 



«2_;_62^ r^^ 4 8/3 



Donc 



(9) A.\, = )^— 



On a, d'ailleurs, 



A A 



62 ^ c"- -:- 4 S v/3 



l/P. 



1 — 



BB, 



ce, 



En comparant (6) et (g), on a 



X = 



9. S 

 AAi 



Le côté X est donc la hauteur d'un triangle de la base A A, et dont l'aire 

 est S, c'est-à-dire l'aire de ABC. Or, 2S=rt/?„. Donc 



.r = 



a h,, 



Par conséquent, il en résulte cette propriété remarquable, permettant 

 la construction graphique de X : 



