AUGUSTE AUBRY. SUR LKS NOMBRES DE MERSENNE. 



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Le côté X est une quatrième proportionnelle au côté a, à la hauteur corres- 

 pondante ha et à la distance AAi. 



3. Rappelons, à ce sujet, la cons- 

 truction géométrique connue de ce 

 problème. 



On détermine le point iJ tel 

 que BDC=A+6oo, CDA=B + 6oo, 

 ADB = C + 60" par des circonfé- 

 rences formées de segments ca- 

 pables des angles précédents décrits 

 sur BC, CA et AB. Les projections A', 

 B',G', du point D sur les trois côtés 

 de ABC sont les sommets du triangle équilatéral minimum A'B' C. 



l'ii 



M. Auguste AUBRY. 



SUR LES NOMBRES DE MERSENNE. 



2 Août. 



iia.Si 



On lit dans Fermât {Opéra varia, p. 177) : 



« Lorsque l'exposant (de 2) est nombre premier, je dis que eon radical ne 

 peut être mesuré par aucun nombre premier que par ceux qui sont plus 

 petits de l'unité qu'un multiple du double de l'exposant. » 



Ainsi, p étant premier, ip — ^i ne peut avoir pour diviseurs que des 

 nombres de la forme ipx-\-i\en effet, si p est le gaussien du nombre 

 premier P, le nombre p divise P — i, d'où 



ce qui donne 



2/'-'— 1 = ( inod P) 



F* — \ = j>x 



et 



et 



•2/'=i (modP), 

 P=px~\ et même 



ipx 



puisque P est impair. Par conséquent, 2" — i ne peut être divisible que 

 par des termes de la progression 23, 45, 67, 89 . . . 



EuLER {Comment, arith. Coll., p. 2) donne ce théorème, démontré depuis 

 par Lagrange : « Sit n = [\m — i, atque 8w — i fuerit numerus primus 

 tum enim 2" — i semper poterit dividi per S/w — i ». 



Ed. Lucas a retrouvé ce théorème, en supposant à tort 71 premier. 



M. A. GÉRARDiN a donné {S. Œ., 1908 et A. F., 1909) une méthode 

 qui permet une extension, théoriquement indéfinie, du théorème de 



