54 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. — - MÉCANIQUE. 



Fermât, et non celui d'Euler, comme il le pensait. On peut la présenter 

 ainsi, en l'appliquant au cas de /> = 71. 



Les diviseurs de 11 = 2'^ — 1 sont de la forme i/jax' + i, et, en outre, de 

 l'une des formes 8a; + i, 8x- — i, puisque ?i est de la forme -zy'^ — i. 

 Cette dernière condition revient à dire que ces mêmes facteurs doivent 

 être de l'une des formes suivantes : 



120J- -+- I, 7, 17, 'v.o, 3i. Il, i7, 49, 7r, 73, 79, 89. 97. io3, 1 13, 119, 



Or, il est facile de voir que n est des trois formes linéaires 

 7.r-i-'), iir + i et ij^ + G. 



Faisant, d'après cela, différentes suppositions sur les facteurs, relati- 

 vement aux modules 7, 11, i3, ..., M. A. Gérardin arrive à cette conclu- 

 sion (nov. 1908) que les facteurs de n sont de l'une des quatre formes 



17040a" -t- 14 >, 3J5l, C959 on 10)67. 



Essayant, en divisant directement ou par congruences, les facteurs 

 premiers définis par les formes qui précèdent, on voit que la division 

 réussit (rr = i3) avec le nombre '228479. C'est ce qu'a trouvé (juill. 1909) 

 le lieutenant-colonel Allan Cunningham, de Londres, à l'aide de la 

 méthode classique de Fibonacci. 



Cette méthode que M. A. Gérardin a simplement indiquée en passant, 

 ne semble pas avoir attiré son attention autant que le mérite la simplicité 

 de sa théorie; et c'est ce qui m'a engagé à la développer, en la précisant, 

 et à en donner une démonstration qui manquait jusqu'à présent. Elle 

 peut, d'ailleurs, s'appliquer à un nombre de forme quadratique quel- 

 conque (*). 



Il est à croire que la méthode de Mersenne, ou plutôt de Fermât, 

 partait de principes analogues à ceux de la précédente. Toutefois, il 

 faudrait admettre, ou que Fermât s'était construit une Table des nombres 

 jusqu'à 1 000000 au moins; ou, ce qui est plus probable, qu'il avait 

 des procédés lui permettant de déterminer la liste des nombres premiers 

 compris, par exemple, dans la forme i7o4o.r + i43. Peut-être aussi 

 savait-il combiner d'autre façon plusieurs méthodes d'exclusion, ou encore 

 fixer des limitations aux nombres à essayer. 



(*) Il va sans dire, qu'au lieu du module i3o, on pourrait prendre le module 

 210 = :î.3.5.7, o" '*' module -iSio, etc. M. A. Gérardin, rompu à ce genre de 

 recherches, pourrait dire si le supplément de travail ainsi amené serait compensé 

 par une plus grande rapidité des exclusions. 



Pour les nombres peu imporlanls. au contraire, on pourrait se servir de l'un des 

 modules 2'(, 3o, 60, .... 



Noie personnelle. — .l'ai de l)onnes raisons de croire que l'introduction, dans le 

 module, des nombres premiers 7, 11, i3, 17, ... est nuisible, tandis que nous arri- 

 verons à de bons résultats en étudiant les modules 7'\<>, '\>^o, .... \. Gkiîardin. 



