6o MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. MÉCA1?JIQUE. 



Les nombres ± 3, ± 2, ±: 4 ne conviennent pas, puisque, pour les 

 derniers, si lyu^ — ç^ est pair, il est au moins divisible par ± 2'; on ne 

 peut donc avoir que d = ±i, et même d = i, puisque 



4^-17.12 = 



d'où 



On retrouverait de même tous les autres résultats concernant les divi- 

 seurs des formes quadratiques, et d'ailleurs la forme -{ç'^-{-ku-) où 



rf=2i/-A; pour k positif, ou d^\^k pour k négatif, est identique au 



fond à la forme réduite, et il est facile de passer de l'une à l'autre. 

 Soit, en effet, 



et k positif, par exemple; on peut toujours supposer que d, ç-, 11- n'ont 

 pas de facteur carré commun; sinon, on les diviserait tous les trois par 

 ce facteur carré ; si 11 possède un facteur commun avec (/, ce facteur doit 

 nécessairement diviser (^, et l'on peut résoudre l'équation ç = xd -\-Bu, 



où l'on peut supposer BS-d; sinon, on aurait 



B = ad-hB., ±B'i-d. v = (x -i- au )d n- B' u. 



■2 ' 



Substituons la valeur i' = xd -{-Bu dans D = -1 (p-+ kn-) ; on trouve 



D = dx^- -h iB II X -i- -,(B^-h A )»2, 



d 



et il faut montrer maintenant que 2B < d est < -(B-+A'), ou bien 

 que -iBdSB^^ k; posons B = -f/ — e; si 2Bd>B^-^ k, on aurait 



B= d-e; 



a 

 . ■> 



d^ — 2 de > A -f- jd^ — de^ e"-. ", d'- > k -h de -i- e"-, 



d'où _ 



et puisque nous savons que d- 2 1 /- A-, on a donc bien aussi 



2B<i(B2-+-/0. 



