LÉON AUBHY. — DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE BACIIET. 63 



(mod/)), car — i est résidu quadratique (modp). Si p = 4« — i, ^^ sait 

 quasi r est résidu (modp), — r est non-résidu, et réciproquement; si 

 nous considérons la suite i, 2, ..., (p — i) commençant par Je résidu i, 



elle contient donc -(p— lum-résidus quadratiques (modp); soit 1^2 

 2 



le plus petit de ces nombres, i — i est résidu, et soient X"^:^ — i et 

 Y2= i — I (modp); on a bien 



\2_l_ Y--h l ^S (llHMlp). 



Soit donc d'abord N impair = pn, avec p premier et h .luelconque, 

 tel que u--^v'^+i^o (mod. n). On a aussi 



.r"- -t- j'2 -4- I ss o (nimlp); 



si n est premier ave*- p, on peut résoudre ne — p/ = i, et, par suite, 



(m — a-) -i- 'in = r/>, (c —y) r- bn -r. s/>: 

 d'où l'on tire 



Y = Il -+- an = 3-, X = (' ^ 1)11 =_K ( iiioilp ;. 



Xî-l- Y2-+- ii= o {uMu\\=pn). 



Si, maintenant, n est multiple de p, soit 



- ( a- -+- p- -r- 1 ) s </ ( mod p ) ; 

 n 



nous pouvons supposer u ou v premier avec p, sinon ii~-\-v'-\-i=i (modp), 

 ce qui est impossible puisque cette même valeur est congrue à zéro 

 (modn), et n ^ (modp). 



Si u = o (mod p), le nombre a±iJ est premier avec p ; si u et v sont tous 

 deux premiers avec p, on a. ii±v premier avec p; on peut donc toujours 

 résoudre 2a(u±(')= — q (modp), et en posant 



u -\- an = X, V ± an = Y, 



on a 



X2+Y--+-i = o ( \y^Ol] 'S — pn). 



Soit maintenant N impair quelconque, N=pi, p., pi, ..., p,, les 

 facteurs pi„ p,, ..., étant tous premiers. Connaissant 



X/ -'-- Y? -f- I " O (lllO(l/M./'2, •.-■/'/ '■ 



on peut en déduire, comm^ nous venons de le voir, 



^1+ i + ^'It- 1-^-1 = ( mod p[.pi, . .., pi+\ ) ; 

 on déduira donc 



Xf-f- Vf -+- I = o (mod/),), X|-hY|-t-i^o (niod/;,. pj ). 



X,' -h Y?. -M 5= o (modX = />i. Pi p,. ). 



