64 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. — MÉCANIQUE. 



SiN = 2N' avec N' impair, on pourra résoudre X^+Y-+i=o (modN') 

 et si X2+ Y-+ 1 n'est pas = o (mod N = 2 N'), on aura 



[ N' — X ]2 4- Y2 + I r- o ( niod •;•. \' = î\ ) 



ce qui démontre le théorème. 



Théorème III. — ■ Tout nombre N est décomposable en quatre carrés. 



Il suffît évidemment de l'établir pour N impair ou double d'un impair, 

 et nous savons, par le théorème II, qu'un tel nombre divise toujours la 

 forme X'^+Y-+i. Si cette forme est congrue à zéro (modN), on peut 



toujours supposer X et Y inférieurs à N et même à - N, sinon, on les 



remplacerait par N — X ou N — Y. 



Considérons maintenant les suites de nombres 



X, Al, Xo, ..., \n', ^- Vi. V,, ..., \„; 



, N, N,. 1X2, 



iX, 



A. A,, A,, ..., A,,; H, B,, B, 



•) ''«> 



obtenues de la façon suivante : 



^15) 



X ■< - X- 



Y/;i-N,, 



N,+i=~(X;+y; + ,): 



(.G) 



(iS) 



2 



X/+1 = X/ — A/+] N,4-i, 





<i9) 



On a 

 puisque 



et 





N/> N/+„ 



X/-,-, ^ - N/ -1- 



X,- 



Xf-i- V|-hi= \,x,+, 



-X/ 



•2 



--N/ 





Puisque, dans la suite Ni, N2, ..., N„, les nombres vont en décroissant, 

 sans pouvoir s'annuler, il y aura nécessairomont un nombre 



d'où 



(20) 



N. = i, 



\ , — X - -•- ^ - 



