76 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. MÉCANIQUE. 



impair. Théoriquement, le tissu qui en résulte n'a pas d'envers, puisque 

 l'endroit et l'envers sont identiques. 



Du SERGÉ. — La ligure 2 contient aussi les dessins des sergés de trois, 

 quatre et cinq fils; on peut en imaginer d'un nombre quelconque de iils 

 (minimum 3). On remarquera que le drap peut être considéré comme un 

 sergé de deux. 



Des SATINS de cinq et de huit. — Le dessin des satins est le plus beau 

 des dessins de tissus ; il donne lieu au tissu le plus uni, le plus doux et 



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Fig. 2. 



presque toujours le plus recherché. Le satin présente une surface lisse, 

 brillante, sur laquelle la chaine couvre presque complètement la trame ; 

 il a des sillons très allongés d'un effet très agréable. Comme le sergé, qui 

 n'est autre qu'un cas particulier du satin, ce dernier est basé sur le principe 

 d'un décochement constant ; et les satins se différencient les uns des autres 

 par le module et le décochement. 



La figure 3 contient les satins de modules 5 et 8. 



Le problème des satins. — Le problème général de la formation des 



dessins fondamentaux se réduit à 

 inscrire, dans les cases d'un échi- 



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quier carré ayant p cases par côté, 

 un nombre p de points de liage, tel 

 que deux d'entre eux ne se trou- 

 vent pas sur le même fil de chaine 

 ou de trame c'est-à-dire dans la 

 même horizontale ou verticale. 

 La solution complète de ce pro- 

 blème est fondée sur le théorème d'Arithmétique suivant : Si la raison r 

 d'une progression arithmétique est nn nombre premier a^ec le module m, 

 en divisant par le module m les termes consécutifs de la progression, les 

 restes des divisions sont tous des nombres différents et reproduisent dan; 

 un certain ordre les m premiers nombres entiers, o, i, 2, ...m. 



En effet, si l'on désigne par a-\-r le premier terme considéré, les termes 

 des ordres h et k ont respectivement pour expressions a+hr et a-\-kr. 

 Donc, si les restes de la division de ces nombres par m sont égaux, leur 

 différence sera divisible par m. Mais m est, par hypothèse, premier 

 avec /•; donc, par un principe, bien connu, dû à Euclide, il doit diviser 

 le nombre h — k, qui est plus petit que lui, ce qui est impossible. 



