FEU ÉDOrARO LUCAS. PRINCIPES DE LA GÉOMKTRIE DES TISSUS. 79 



et p — (". Formons le groupe de quatre décochements 



a c 



p — a p — c 



pour les directions 



A t G ^ 

 B I x-D 



ot, par exemple, pour le module 1 1, le groupe 



4 3 



7 8 



Les quatre satins peuvent être construits avec un quelconque des 

 quatre nombres du groupe. Mais le mode de décochement est le même 

 dans les quatre dessins, si l'on ne tient pas compte du sens du décoche- 

 ment et l'on ne considère deux points de liage que dans le sens de leur 

 plus petit éloignement. 



Nous avons ainsi considéré toutes les directions possibles permettant 

 de construire un point de liage d'après celle du point le plus voisin, comme 

 l'indiquent les figures 4 et 5; on peut donc admettre ce principe : Deux 

 satins de même modale^ qui ne sont ni associés ni complémentaires, sont 

 nécessairement distincts. 



Observations. — 1. L'aire du parallélogramme ayant pour sommets les 

 centres d e quatre points de liage voisins, est équivalente à l'aire d'une 

 case du dessin, multipliée par le module. 



II. La construction des satins de module p donne la figuration géomé- 

 trique de toutes les solutions de la congruence 



mx -\- Il y 5=5 o ( modp ) 



OU de l'équation indéterminée 



m X -^ ny -+- p z = o. 



DES SATINS CARRÉS. 



On a vu que, pour un module quelconque p, il y a quatre nombres, 

 ri, p — a, c, p — c, donnant lieu au même dessin; alors la question se pose 

 de savoir si ces quatre nombres sont toujours distincts, ou mieux, dans 

 quel cas deux ou plusieurs de ces nombres peuvent être égaux. Obser- 

 vons d'abord que pour tout nombre premier, aucun nombre (sauf l'unité) 

 ne peut être égal à son associé. Reste donc à étudier le second cas, c'est-à- 

 dire à déterminer le cas où un nombre peut être l'associé de son com- 

 plément. Puisque a{p — a) divisé par p donne i pour reste, a--\-i est un 

 multiple de p, ce qui a lieu, par exemple, pour a = 5 et p=iS, pour r/=4 

 et p=ij. Avant de chercher les valeurs de a satisfaisant à cette condition, 

 considérons la forme des dessins qui peuvent la fournir. 



D'une case hachurée quelconque, on peut déduire la case voisine par le 



