— MECANIQUE. 



t et <-, de telle façon 



80 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. 



moyen de décochements égaux dans les deux sens 



qu'une case hachurée se trouve dans le centre 

 I I I I ~n d'un carré et que quatre autres soient disposées 



^ I I U It I W I , _ symétriquement autour de la première, de 



telle manière que leurs centres soient les som- 

 mets d'un même carré {fig. 6). De plus, entre 

 Pj„ g quatre points de liage voisins, on peut des- 



siner un carré et les quatre cases sont disposées 

 de la même manière autour du centre de ce carré. 



Cette distribution des points de liage est celle qui donne une régularité 

 absolument parfaite; tout point est, en largeur comme en hauteur, éga- 

 lement distant des quatre points de liage les plus voisins. Les tissus qui 

 résultent de cette disposition sont parfaits comme satins. A cause de ces 

 diverses propriétés, le satin ainsi obtenu est dit satin carré. 



Les satins de 5 de la figure 5 forment un satin carré; la figure 7 repré- 

 sente le satin carré de module i3. Nous démon- 

 trerons immédiatement que pour un module pre- 

 mier p, on ne peut avoir qu^in seul satin carré. 

 En effet, désignons par a et b les décochements de 

 deux satins carrés de module p; les nombres 

 fl^+i et b^-\-i sont divisibles par />; en consé- 



fflï 



quence, leur différence a- — b- ou {a ^ b){a — b) 

 est un multiple de p et, par suite, le nombre pre- 

 mier p diviserait l'un ou l'autre des deux facteurs 



(a-f-è) ou {a — b); on devrait donc avoir soit a = /?, soit a + b = p. On 

 aurait donc un seul satin ou bien deux satins complémentaires. 



En second lieu on peut démontrer que pour un module premier impair p, 

 on ne peut avoir de satin carré, si p est un multiple de 4 augmenté de 3; 

 et qu'on a un satin carré si p est un multiple de 4 augmenté de 1. En efîet, 

 pour former les satins do module premier />, on peut prendre comme 

 raison «, de la progression arithmétrique fondamentale, un des {p — i) 

 premiers nombres entiers; mais les raisons i et (/> — i) forment le groupe 

 du sergé; les autres nombres se groupent quatre à quatre et ne peuvent 

 former deux groupes dans lesquels on aurait un cas d'égalité; par consé- 

 quent, des /) = 4(/+3 nombres, il en reste L\{q — i) formant [cj — i) 

 groupes de nombres distincts; ainsi, pour p = f\q-\-?\, on ne peut avoir de 

 satin carré. 



Mais si p = 4(/- — i, on a 4((/ — 2) nombres formant {q — 2) groupes de 

 nombres distincts, et il reste encore i et (p — 1), formant un satin carré, 

 ce qu'il fallait démontrer. 



SATINS DE MOnULK QUELCONQUE. 



La plus grande partie des résultats qu'on obtient pour les satins de 

 module premier p, s'appliquent également dans le cas où le module est 



