FEU EDOUARD LUCAS. PRINCIPES DE I.A GÉOMÉTRIE DES TISSUS. 8l 



1111 nombre quelconquo ///, ixtui'vu qu'on prenne, pour la raison a de la 

 progression arithmétique, un nombre premier avec le module m. De 

 même, les définitions et les propriétés des satins complémentaires, asso- 

 ciés ou carrés sont encore vraies ptnu' un module quelconque. 



Nous devons cependant signaler deux importantes exceptions : la 

 première a trait au nombre des satins carrés qui, dans le cas d'un module 

 quelconque, peut êtr(> aussi grand que l'on veut, en prenant un module 

 suffisamment élevé; la seconde fait connaître un nouveau satin, qui sera 

 défini dans le paragraphe suivant. Dans le cas du module premier p^ le 

 nombre a peut prendre {p — r ) valeurs, comprenant les valeurs i et (/; — i ), 

 qui correspondent au sergé, comme dans le cas d'un module non premier; 

 mais dans le cas d'un module quelconque, le nombre des valeurs de (t, 

 premier avec le module, et qu'on appelle Vindicateiir de w, est le nombre 

 des entiers inférieurs à m et premiers avec lui. 



SATIN SY.UKTIUQUE. 



On a vu que, lorsque le module est premier, aucun nombre, sauf l'unité, 

 ne peut être égal à son associé; mais si le module m n'est pas premier, 

 on peut trouver un nombre a qui soit égal à son associé. Dans ce cas, 

 fl- — I est divisible par m ; ainsi, par exemple, si le module est 8, comme le 

 nombre 3- — i est divisible par 8, il s'ensuit que 3 est égal à son associé, 

 suivant le module 8. Lorsque de telles conditions sont réalisées, on peut 

 déduire d'une case hachurée quelconque la case A^oisine, par le moyen 

 d'un môme décochement dans les deux sens | et — >. La combinaison 

 des deux opérations donne lieu à des cases hachurées symétriquement 

 disposées deux à deux par rapport aux deux diagonales d'une case 

 hachurée quelconque. 



La figure 8 représente le satin symétrique de module 12, et la figure 3, 

 le satin symétrique de module 8. Ceci nous amène à chercher quelles 

 sont les valeurs 'de <i pour lesquelles a- — i et «■^-j-i sont multiples de m. 

 iiCS premières valeurs sont données par les satins symétriques, et les 

 secondes, par les satins carrés. 



Notons que ces valeurs de a sont distinctes dans les deux cas, excep- 

 li(»n faite du cas du drap où </— i, m = 2. En effet, si une même valeur de a 

 rendait a- — i et a--f 1 divisibles pai' w, la même chose arriverait pour 

 leur différence ?.. 



Avant de donner le tableau des dessins fondamentaux, nous exposerons 

 quelques principes très faciles à démontrer. Lorsque le module est un mul- 

 tiple de 4, le salin qui a pour décochement la moitié du module^ diminuée 

 de Vunité, est un satin symétrique. En effet, si l'on pose a = 2?7i — i, on a 



pour le module 4 'w 



a- — 1 = Î//21 m i;. 



H s'ensuit que, d'une case hachurée quelconque, on peut déduire les 



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