FEU EDOUARD LUCAS. — PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE DES TISSUS. 83 



indéfinie ne sont jamais les sommets d'un triangle équilatêral ni ceux d'un 

 polygone régulier, si ce n^est le carré. 



Les démonstrations pour le triangle équilatêral et l'hexagone régulier 

 ont été données par nous (^oc.wa//i. (/eFmrtce, séance du 7 nov. 1877). 



S l'on considère l'échiquier comme indéfini dans tous les sens, le centre 

 d'une case, l'un de ses sommets ou le milieu d'un de ses côtés forment 

 des contre de symétrie. Appelons A, B, C les centres de trois cases, et 

 supposons-les aux sommets d'un triangle équilatêral; le milieu M delà 

 ligne BC est évidemment dans un centre de symétrie de l'échiquier, et, 

 par suite, le point D symétrique de A par rapport à M est aussi le centre 

 d'une case. Dans le triangle isoscèle ABD, on a 



ÂD"== 3ÂB', 

 mais dans l'échiquier, on a 



ÂB^ = «2+^,2 et Âd' = c2 -;-(/% 



«, b,c,d étant des entiers; on aura donc 



ce qui est impossible. 



M. C.-A. Laisant a donné une autre démonstration très élégante, 

 beaucoup plus simple et plus générale, convenant à tous les polygones. 

 En effet, si l'on prend pour axe des x et axe des y deux droites parallèles 

 aux côtés de l'échiquier et passant par le centre A, les tangentes des 

 angles BAX et CAX sont rationnelles; la même chose devrait donc 

 avoir lieu pour la tangente de l'angle CAB; or cet angle n'est une partie 

 aliquoto de la circonférence que dans le cas de l'angle droit. 



NOMBRE DES SATINS DE MODlLIi 2'". 



Nous démontrerons maintenant le théorème suivant : Si le module est 

 une puissance de i et que le décochement m ne soit pas inférieur à 3, on ne 

 peut avoir un satin carré, mais il existe un satin symétrique unique, et le 

 nombre total des satins distincts est égal à 2'"-» + i,en comprenant le sergé. 



En effet, ils ne sont pas carrés, puisque le décochement a est impair 

 et qu'on peut poser 



par conséquent, a-+i n'est pas divisible par 8; nous supposons le 

 module au moins égal à 8, puisqu'il n'y a pas de satin, outre le drap et le 

 sergé, ayant les modules 2 et 4. 



En seeond lieu, il n'y a qu'un seul satin symétrique ou son complé- 

 mentaire. En effet, on doit avoir 



