3i SOCIÉTÉ HELVÉTIQUE 



nécessaire de la dérivée de toute fonction continue à ar- 

 gument réel. 



Comme il y a une infinité de fonctions continues dont 

 il faut absolument admettre qu'elles n'ont pas de déri- 

 vée, tout raisonnement tendant à conclure de la continuité 

 seule d'une fonction à l'existence de sa dérivée ' , doit 

 renfermer une erreur fondamentale, de sorte qu'il suffit 

 de donner un seul exemple d'une fonction continue qui 

 n'ait pas de dérivée pour faire voir la faiblesse d'un tel 

 raisonnement -. 



Outre l'exemple donné par Riemann et sur le modèle 

 duquel on peut en former autant que l'on veut ^ les ma- 

 thématiciens qui ont eu le bonheur de faire leurs études 

 à l'université de Berlin dans ces derniers temps connais- 

 sent d'autres exemples caractéristiques qui jettent du jour 

 sur cette question. Le nouvel exemple donné dans la pré- 

 sente communication ne sera peut-être pas sans intérêt à 

 cause de sa simplicité, sans prétendre à aucune supério- 

 rité sur les autres déjà connus. 



Désignons par x une variable toujours positive, et par 



* Lamarle, Élude approfondie sur les deux équations foudamenlales 



nx-\-/i) f{x) 



lim =r'-'^') ^l dy = f'{x).\x, présenlée à la séance 



du !«■■ juillet 1854. (Mémoires de l'Académie royale de Belgique, 

 tome XW\.) — Duhamel, Éléments du calcul infinitésimal. Paris, 185(5; 

 tomel, p. 94-97. — Bertrand, Traité de calcul différentiel et de calcul 

 intégral. Paris, 1861; tome I, p. 2-1. — /'//. Gilbert, .Mémoire siii' 

 l'existence de la dérivée dans les fonctions continues. (Mémoires cou- 

 ronnés et autres Mémoires publiés par l'Académie royale de Delgique, 

 in-8^; tome XXIH, 1872.' 



* Ph. Gilbert, Rectification au sujet d'un mémoire précédent (Bul- 

 letin de l'Académie royale de Belgique, 2""^ série, t. XXXV, juin 1873). 



^ Le mémoire de feu M. llormann Hankcl, sur les fonctions oscillant 

 un nombre infini de fois et discontinues (Tubingue, 1870), se rattache 

 aussi à l'exemple de Riemann. 



