DES SCIENGKS NATUHKLLES. 37 



Le coeiïicienl de \/h attcinl sa plus grande valeur, 

 savoir 3 lorsque r esl égal à zéro ; si donc li satisfait à 

 la condition 0</i^l, on a : f{oc-j-h) — f(x) <3\/T. 

 Conséquemmenl la fonction f{x) est une fonction conti- 

 nue de son argument, ce qu'il fallait démontrer. 



b. Quelque petit que soit un intervalle j^q-'-X on pourra 

 toujours trouver un nombre entier 77i suffisamment grand 



pour que: -^^j^j soit plus petit que X — Xo, et un nom- 



bre impair m' tel que a:o<-^ <X. 



Posons maintenant -^ = x' et calculons pour diffé- 

 rentes valeurs de h, posititives, les valeurs du quotient: 



f{c[f-\-h)-f{x') ^ cp(2°a;' + 2°/0 — y(2°a;') 

 h ~ ^ 2". 2". h 







Comme tous les termes de la série infinie qui forme le 

 second membre de cette équation sont positifs, on obtient 

 en gardant de tous ces termes le seul pour lequel n=m : 



/•(■r'-f/Q— Aj^') ^ y(2-"x' + 2'°/0— y(2°'a;') 

 h -^ 2". 2". /i 



Si maintenant, comme il est permis, on suppose 



f (2" x' -f 2" II) — f (2'" x) = ^¥li. 



Avec leiN conditions que nous venons d'établir on a, par 

 conséquent : 



f{x'-^h)-f{x') ^ 1 



/^< -g^, d'après la définition de la fonction cp, il vient 



h (2 V^y. Vh 



ce qui montre que, pour des valeurs positives suffîsam- 



ment petites de h, le quotient r ^ — dépassera 



