38 SOCIÉTÉ HELVÉTIQUE 



toujours une grandeur g donnée, prise aussi grande qu'on 

 voudra. 



D'autre part, pour la même valeur de x' et pour des 

 valeurs positives décroissantes de h, la relation : 



m-l , 



lim f(x'—li)-f{x') _ 1 1 V JL ^ 



- — 4-y - 



Qra 1^ ^ 9 



(M —h 2" ^-i'H> \/rx'—E{'i''x') 



se vérifie. 



De ce qui précède, on conclura que la supposition de 

 l'existence d'une dérivée de la fonction /"(j;), qui pour 

 toute valeur de l'argument x, même dans un intervalle 

 aussi petit qu'on voudra, ait une valeur finie et détermi- 

 née, est inadmissible. 



M. Schwarz fait ensuite une communication sur les hy- 

 pothèses qui font la base du théorème 



9 / 9/'(j,// )\_ 8 i ^f(r,!l) \ 

 dii\ àx I àx\ Oii ' 



dij \ dx I 'àx\ ôij 

 Dans un mémoire ' communiqué en 1860 à la Société 

 finnoise des Sciences, M. Lindelof a démontré l'insuffisance 

 de deux démonstrations qui ont été données du théorème 

 formulé dans le titre ci-dessus, démonstrations dont l'une 

 se trouve dans la seconde édition du Compendmm de l'a- 

 nalyse supérieure de M. Schlomilch, l'autre dans le traité de 

 calcul difi"érenliel et de calcul intégral de M. Bertrand. La 

 première de ces deux démonstrations insuffisantes repose 

 sur une supposition (\u\ ne se vérifie pas généralement, 

 savoir que si f(x, y) est une fonction de x elde y e^f^{x,y) 

 sa dérivée partielle prise par rapport à .r, la quantité 

 comprise entre et 1 et satisfaisant à l'équation : 

 fix-j-luj) -f{x,y) = hf, (.r-f G//,//) 



^ Remarques sur les différentes manières d'élablir la formule 



— ^ = . {Acla socielatis scienliarum Fennicae. Tomus VIII. 



ex ej/ c^ ^x 



llelsingfors, 1867.) 



