DES SCIENCES NATURELLES. 30 



est indépendante du second argument n (1(î la foiiclioii 



Cette déndonstralion inexacte se retrouve d'ailleurs aussi 

 dans la troisième édition du Compcndimn (Brunswick, 

 I8G8), dans jo cours différentiel et intégral de M. Serret 

 (tome I; Paris, 18()8), dans Iciiucl celte démonstration 

 est attribuée à M. Ossian Bonnet et a passé aussi dans lu 

 traité de M. Spitz (premier cours de calcul différentiel et 

 intégral. Leipzig et Heidelberg, 1871). 



La seconde démonstration contestée par M. Lindelof 

 repose sur l'hypothèse suivante : si une fonction -h (x, a) 

 est infininu'nt petite, quel que soit x, pour une va- 

 leur infiniment petite de a, il en est de même de sa 



.... 'd^{x.,a) ^ . . , . . , 



dérivée . Celte proposition n est évidemment pas 



juste dans tous les cas. M. Lindelof cite l'exemple 



•^ (a;,a) == a sin ^— dans lequel sans doute il ne peut 



pas être question d'une quantité dont l'expression serait 



liïii Ow 

 /^,_0\ ~^ > car une semblable limite n'existe pas. Le 



même mode de raisonnement insuffisant se trouve dans le 

 cours d'analyse de Sturm (troisième édition; Paris, 1868), 

 dans l'appendice à la troisième édition du Compendiuin de 

 M. Schlomilch et dans le cours lithographie de M. Hoiiel, 

 sur le calcul infinitésimal (Paris et Bordeaux, 1871). 



La démonstration de ce même théorème donnée par 

 Lagrange et perfectionnée par Caucliy n'est pas exposée 

 au reproche de manquer de précision, du moins pas 

 lorsque le développement de la différence /'(aî-f/i,î/-|-/f) 

 — f(x,ij), suivant les puissances de h et de k, est poussé 

 jusqu'aux termes du second degré. 



