40 SOCIÉTÉ HELVÉTIQUE 



Pour cette démonstration, il est nécessaire d'admettre, 

 outre la continuité de la fonction f(x,ij), l'existence et la 

 continuité des deux dérivées premières et des quatre dé- 

 rivées secondes de cette même fonction /" (a?, î/) que nous 

 désignerons comme suit : 



Faisant croître x jusqu'à x-}-h, puis y jusqu'à y-{-k, 

 il vient : 



f{x+h,ij-j-k) — f{x,y) - /•, {x, y) h-\~f^ {x,y) k-\- 

 + {[(/.. {^,y) 4- «)/i^+2 (A, {x,yWS) hk+(f,, {x,y)+y) k'I 



où a|3 -y représentent des quantités qui deviennent infini- 

 ment petites en même temps que h et k. Si, au contraire, 

 on commence par faire croître y jusqu'à y-\-k, puis x 

 jusqu'à x-{-h, il vient : 



f(x~j-h,y-^k) —f{x,y) = f, {x,y) h-{-f^ {x,y) k + 



oùa'iS'v' ont une signification analogue à celle que Ton 

 a donnée à a j3 y. 



Par la comparaison de ces deux résultats, on obtient, 

 en posant encore k=h, 



m (h) désigne une quantité qui devient infiniment petite 

 en même temps que h. Il suit de là que la différence 



fa {^'V) — Al (^>2/) "^ P^"' P^^ ^^0''' """^ valeur diffé- 

 rente de zéro. 



On ne peut pas méconnaître que cette démonstration, 

 dont la rigueur ne peut pas être mise en doute, n'est pas 

 parfaite, vu qu'elle suppose l'existence et la continuité 



