DI':S SCIENCKS NAÏL'IŒLLICS. 4 1 



des deux dérivées partielles f^ , et/",,, tandis que la propo- 

 sition qu'il s'agit d'établir ne concerne que les dérivées 

 f^% ^^ fn- ^^^^^ ^ O'i P*^"'' ti'és-bien former des fonctions 

 satisfaisant aux autres conditions pour Icscjuelles les déri- 



vées iiui se désisincraient par -^ — et — - n'existent pas. 



Suit la question qu'on devra dès lors nécessairement se 



poser : la proposition — /— ) = — (7—) n'est-elle vraie 

 ^ ^ ^ dij \dx/ dx\dy/ 



9Y 9Y 

 que si —-ei — existent et sont continues? On peut ré- 

 dx^ dy* 



pondre à cette question par le raisonnement suivant : soit 



f(x,y) une fonction qui, pour toutes les valeurs de x et 



de y comprises entre de certaines limites, n'a jamais qu'une 



valeur unique et demeure toujours finie et continue: cette 



triple condition se réalisant aussi entre les mêmes limites 



pour ses quatre dérivées partielles : 



^-f ^-f ^-f ^ = f 

 dx ~'" dy ~''' dy ~'^-'' dx '''' 



Soient de plus Xo,yoâeux valeurs quelconques de ces deux- 

 variables comprises entre les limites considérées. Appe- 

 lons h et k deux quantités positives si petites que toutes 

 les couples de valeurs de x et àe y qui satisfont à la fois 

 aux deux conditions : 



Xo<x <: Xo-{-ii, yo<y< yo+k, 



se trouvent également comprises entre les mêmes limites, 

 la variabilité de x ei de y se bornant aux paires qui satis- 

 font à ces deux conditions. Soient de plus r, eir,' les limites 

 supérieures auxquelles puissent atteindre dans ces condi- 

 tions les valeurs absolues des différences : 



fn {x,y)—fn ix„yo) el /'ai (xjj) — Al {Xo,yo), 



