42 SOCIÉTÉ HELVÉTIQUE 



ces deux quantités ont, en vertu de la continuité admise 

 des fonctions/',, et/,,, la propriété d'être infiniment pe- 

 tites en même temps que h et k. Or, d'après ce qui a été 

 admis, on a : 



L'accroissement que la fonction /, {x,y) subit lorsque y 

 augmente de y^ à i/o+A', x demeurant constant, est donc 

 égal au produit do l'argument et d'une valeur moyenne 

 entre la plus petite et la plus grande des valeurs que 

 prend dans cet intervalle la dérivée f^i{x,y), si l'on désigne 

 cette valeur moyenne par/, ^ (^o>!/o)+'''/x » ''/x est une quan- 

 tité dont la valeur dépend en général de x, mais dont la 

 valeur absolue est en tout cas plus petite que r,. On ob- 

 tient donc /, {x,yo + A') — /", {x,yo) = kf,^Xxo,yo) + k •//,. 

 Le premier membre de cette équation est égal à 



Y [f{x,yo-\-k) — f(x,yo))- Ainsi donc l'accroissement 



que subit la fonction f(x,yQ-\-k) — f{x,y^) lorsque x passe 

 de la valeur x^ à jCo -|- ^ est égal au produit de h par une 

 valeur moyenne entre la plus petite et la plus grande va- 

 leur qu'atteigne l'expression kf^^{Xo,y^~\-k■n^ dans l'in- 

 tervalle indiqué. Cette valeur moyenne peut en tout cas 

 être mise sous la forme kf^Xx^,yQ)-\-k(^ri), où (•/;) désigne 

 une quantité dont la valeur absolue est plus petite que yj. 

 On obtient de la sorte : 



f(Xo-hh,yo-hk}—f{Xo.yo-\-k)—f{Xo-i-li,yo)-{-f{Xo,yo) 

 = hkf^^{Xo,yo)-\-hk {r). 



i*ar une série de raisonnements analogues, en parlant de 

 l'équation \' '' = f^ , {x,y), on obtient : 



f{Xo-^h,y,-{- k) — f{Xo-{-h,yo) —fiXo,yo-\-k)-{'f{Xo,yo) 

 =likf\,{XoJJo) + hk(n), 



