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oii (y;') désigne une ijuantitt' plus potile en valeur abso- 

 lue que r/. Les deux premiers membres des é(|ualions 

 ci-dessus étant identiques, il suit: 



fn (•ï'o^ //o) — 1\ , (.ro, y.) = (r/ ) — (r,), 



d'où il résulte, puisqu'on peut léduice autant (]u'on le 

 veut le i^econd membre de celte équation en prenant h et 

 k suffisamment petits, tandis qu'au contraire le premier 

 membre est indépendant de h et k, que : 



/l2 («^'oj//oj = /21 (ïo) ^0)5 



ce qu'il s'agissait de démontrer. 



Remarque. On peut facilement se convaincre par un 

 exemple (jue les deux expressions : 



T-^ A (•^.^//)] et llf^(x,yS] 



f-d y Jy=yo \_ dx Ja;=j;o 



peuvent avoir des valeurs différentes l'une de l'autre si 



l'on n'admet pas la continuité des deux dérivées/",, et/",,. 



Prenons, par exemple : 



Il X 



f{x,y) = j;2 arc tg -^ — \f arc Ig — , 



X " y 



la valeur de l'arc tangente étant prise toujours entre 

 — "^el-|- — , alors on aura pour cette fonction et ses 



ma M 



deux dérivées partielles qui sont : 



fi {x,îj)=y-^x arc lg-|- , f^{x,y) = —x-^2yarc tg— , 



X y 



des valeurs finies, continues et «niques. 

 Pour cette fonction on a : 



9 .f,{0.y) = -^i et J_A(x,0)=-l, 



dy dx 



les deux expressions 



[TF^-^'-y^U ^' [^^■H.=. 



