Vogler, Die Variation der Blattspreite bei Ci/tisus laburnum L. 433 



Ritterschen Messung-en sich in ihrer großen Mehrzahl bewegen, 

 jede beliebige Zahl Gipfelzahl sein darf, ohne in Wider- 

 spruch zu geraten mit der Hypothese. Damit fällt aber na- 

 türlich die Beweiskraft der Ritterschen Zahlen. 



Dazu kommen aber noch zwei weitere Punkte in der Arbeit 

 Ritters, die einer Kritik nicht standhalten können. Ritter stellt 

 den Satz auf, daß die Gipfelzahlen für die Länge und die Breite 

 auf den lOfachen Werten der Quadratwurzeln aus den Fibonacci- 

 zahlen liegen. Und in der für unsere Frage wichtigsten Arbeit 

 bringt er als Belegmaterial Messungen der Spreitenbreite von: 

 Siellana media, Oxalis acetosella, Lijsimackia nxmmularia etc. etc. 

 und der Spreiten länge von Ljisimachia nummularia, Hypericum 

 perforatum, FrcKjaria resca etc. etc. 



Wenn aber die Hypothese für die Entwicklung der Fläche 

 nach Fibonacci richtig ist, so können bei nicht isodiametralen 

 Blättern die Gipfel werte der Breite nicht auf das 10 fache der 

 Quadratwurzeln aus den Fibouaccizahlen fallen, wenn das für die 

 Werte der Länge gilt, wie folgende Überlegung zeigt. Wir setzen 



eine elliptische Blattform voraus: Die Fläche j (L. Br.) sei = I. 

 Ii : I2 : I3 : I* etc., die Gipfelwerte für eine Kurve der Flächenvariation, 

 würden sich nach der Ritterschen Hypothese verhalten wie die 



Fibonaccizahlen. L also x Fii; L - x Fi2 etc. Da j eine Kon- 

 stante ist, so erhalten wir also auch Li Bri = y Fii ; L3 Br2 = y Fi2 etc. 

 Li : L2 : L3 muß also gleich sein aj/Fii : a| /Fi2 : a)/Fi3 



und Bri:Br2:Br3 „ „ „ „ ^(/fIi : ^|/Fi2 : /?|/Fi^. 



a ß = y. Aber a ist nicht gleich ß, sondern a muß sich 

 verhalten zu ß, wie L. : Br. 



Liegen somit die Gipfel werte für L. auf dem lOfachen der 

 Quadratwurzeln aus den Fibonaccizahlen, so müssen die für Br. 

 auf anderen Multipla derselben liegen. Da Ritter diesen Punkt 

 nicht berücksichtigt hat, aber trotzdem bald die Kurven für die 

 Breite, bald für die Länge gibt, so fällt auch aus diesem Grunde 

 die Beweiskraft seiner Zahlen dahin. 



Der dritte Einwand ist endlich folgender: Ritter beachtet 

 nicht, daß die linearen Dimensionen der Spreiten überhaupt 

 nur vergleichbar sind, wenn die Grundform der Blatt- 

 spreite sich nicht ändert, d. h. bei einfachen Blattformen, wenn 

 das Verhältnis von L. : Br. konstant bleibt, wie ich schon 1908 

 ausgeführt habe. Er macht sich z. B. gar nichts daraus „Messungen 

 aller drei Foliola eines Blattes von CijUsus Jahurnam durcheinander" 

 anzuführen, trotz der großen Differenzen in der relativen Breite der 

 End- und Seitenblättchen. 



Es tut mir selbst leid, daß ich die Arbeiten Ritters so ab- 

 lehnend kritisieren muß, umsomehr, als mir seine Hypothese an und 

 für sich möglich und auch wahrscheinlich zu sein schien; habe ich 

 ja doch selbst 1908 in meinen „Untersuchungen an den Blättern 

 von Vinca minor'''' unter Vermeidung der Fehler Ritters geglaubt, 

 Beweismaterial für die Richtigkeit der Annahme der Entwicklung 



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