100 Ludwig, Ueber Variationspolygone u. Wahrscheinlichkeitscurven. 



species darzustellen, ähnlich wie die alte Erophüa verna nach den 

 Untersuchungen von De Bary und von Rosen. 



B. Fibonaccicurven und Fibonaccipolygone. 



1. Variation der Blütenzahlen im Köpfchen von Solidago serotina 

 und S' virga aurea. — Chrysanthemum Leucanthemum. — Petasite» 



officinalis. 



a) Livicurven bei den Randblüteuzählungen von Compo- 

 ÄiVenköpfchen mit zusammengesetzten Blütenständen. 



Wie W. Ilaacke (Entwicklungs-mechanische Untersuchungen. 

 I. Ueber numerische Variation typischer Organe und korrelative 

 Mosaikarbeit. [Biol. Centralbl. Bd. XVI. 1896. No. 13 ff. p. 481 ff.]) 

 bei Chrysanthemum corymhosum etc. gezeigt hat, ist die Anzahl der 

 Randblüten bei solch zusammengesetzten Blutenständen eine 

 Funktion des Ortes, den das Köpfchen an der PHanze einnimmt. 

 „Sie hängt ab von der Menge der Nahrung, die den Köpfchen 

 durch den Stamm, beziehungsweise durch Aeste und Zweige der 

 Pflanze zugeführt wird." Nach der Zusammenstellung seiner Re- 

 sultate scheint Haacke zu glauben, dass dabei alle möglichen 

 Zahlen durchlaufen werden können, wie man früher glaubte, dass 

 beim Uebergang einfacher (7o?n,2?os^<enköpfchen zu mehr oder 

 weniger gefüllten die ganze Zahlenreihe durchlaufen werden 

 könnte. Wie aber H. de Vries durch seine Culturergebnisse bei 

 Chrysanthemum segetum dargethan hat (vgl. auch meine Be- 

 obachtungen bei Bellis loerennis)^ werden nur die Zahlen der Fi- 

 bonaccireihe und der von mir gefundenen Nebenzahlen durch- 

 laufen. So zeigt auch eine Zusammenstellung der Haacke'schen 

 Resultate, dass die Gesammtvariationscurve des Chrys. corymhosum 

 eine Summationscurve darstellt, deren Componenten einfache 

 Vari.ationscurven jener Zahlen sind (cf. auch meine früheren 

 Untersuchungen über Umbelliferen-Cnr\en. Die Haacke 'sehen 

 Zählungen ergaben für sämmtliche Köpfchen (Stamm-, Ast-, 

 Zweigköpfchen) : 



Randstrablen : 8 9 10 11 12 13' 14 15 IG 17 18 19 20 



J>equeiiz: 1—1 1 4 62 44 68 73 71 79 70 116 



Randstralilen : 21 22 23 24 2.5 26 27 28 29 80 ;]1 



Frequenz: 226 63 31 22 11 6 8 3 2 — 1 



Liegen die Variationsmittelpunkte nicht allzu weit aus ein- 

 ander, so können auch pseudomonomorphe Summationscurven ent- 

 stehen, deren Gipfel die früher von mir erörterten Scheingipfel- 

 zahlen trägt, und zwar werden diese Curven symmetrisch sein, 

 wenn die Variationsgruppen gleich stark vertreten sind, un- 

 symmetrisch , wenn die eine derselben in der Zahl der Köpfe 

 überwiegt und die Variation um die verschiedenen Variations- 

 centra verschieden gross ist. So würde z. B. die Uebereinander- 

 lagerung der beiden Binomialcurven für (1 -|- 1)^ mit den Gipfeln 

 bei 8 und 10 eine Totalcurve mit symmetrisch gelegenem Mittel- 

 gipfel bei 9 ergeben, während die Summationscurve für 2 Bino- 

 mialcurven für (1 -f- 1)^'^ und (1 -j-l)^'^ mit Gipfehi bei 10 und 



