1/ D.-A. GRAVÉ. — MEILLEURE REPRÉSENTATION D'UNE CONTRÉE DONNÉE 111 



où la partie positive, composée des fonctions arbitraires, n'est évidem- 

 ment que L'intégrale de cette équation : 



d?U rf'U _ 

 du* ^ dt % ~~ 



Donc, les écarts du rapport d'agrandissement dépendent des déviations 



2 



de la fonction Ig — et de I intégrale de cette équation. 



& e u _j_ e ~ u l 



Or, d'après les propriétés remarquables de cette équation, on parvient 

 à reconnaître que le minimum de déviation de son intégrale de la 



2 



fond ion Ig -r —dans l'espace limité par une courbe quelconque ne 



e + e 



peut avoir lieu, à moins que la ditférence : 



2 

 U-lg-^— 3 



sur cette courbe n'ait constamment la même valeur. 



J'ai réussi à démontrer cette remarquable proposition. Le court résumé 

 de ma démonstration a été présenté à la Section mathématique du Congrès 

 de Cacn en 1894. On peut voir la démonstration complète dans mon 

 Mémoire étendu sur les caries géographiques en langue russe. 



La construction de la projection de Tchébycheff, pour une contrée donnée, 

 exige la solution du problème connu sous le nom de Problème de 

 Dirichlet. J'ai trouvé une nouvelle méthode pour traiter ce problème cl on 

 ai donné connaissance à la Section mathématique du Congrès de Bor- 

 deaux en 1895. 



Si nous voulons considérer la carte de Tchébycheff pour un quadrilatère 

 formé par deux arcs des méridiens et deux parallèles, il faut prendre les 

 formules indiquées pour la première fois par MM. Jochmann (*) et 

 Eisenlohr | 



Il faut construire dans la projection de Mercator le quadrilatère consi- 

 déré, et soienl ses côtés oj, o>', où u> est la distance entre les parallèles 

 limites el <•/ la différence des longitudes. 



Soit, en outre, a, pris avec le signe — , la distance sur la projection de 

 Mercator du centre de ce quadrilatère jusqu'à l'équateur. — Prenons ce 

 centre pour origine des coordonnées rectangulaires; prenons pour l'axe des x 

 le méridien moyen. Alors, il n'est pas difficile de voir que, dans le cas de 



{*) Jochmann, Schlômilch Journal, X, p. /ig. 



(**) EI6ENLOHR. Ueber Flâclienabbildung, Journal von Crellr, 1870, t. LXXII, p. 149. 



