108 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



et par conséquent il se réduit à une question très simple du calcul ordi- 

 naire des variations. Encore plus simple est la question cousidérée par le 

 colonel Henry James et le capitaine Clarke. Ils cherchent la meilleure 

 projection perspective centrale, dont la position du point de l'œil se déter- 

 mine par le choix d'une quantité constante qui rend l'intégrale (1) mini- 

 mum. Dans ce cas, l'intégrale est une fonction complètement déterminée 

 de la distance du point de l'œil jusqu'au centre de la sphère et, par 

 conséquent, la recherche de son minimum présente un problème élémen- 

 taire du calcul différentiel. 



Au même point de vue sont faites les recherches de Weber et de 

 Eisenlohr. 



Ces auteurs prennent les projections orthomorphes et déterminent les 

 fonctions arbitraires de façon que l'intégrale double d'une certaine fonction 

 du rapport d'agrandissement soit minimum, c'est-à-dire ramènent le pro- 

 blème au calcul des variations. 



Les essais d'application pour trouver la meilleure carte de la théorie 

 des fonctions qui s'écartent le moins possible de zéro présentent plus 

 d'intérêt théorique et plus d'importance pratique. C'est cette théorie, 

 reconnue après les travaux de Tchébycheff, qui a été appliquée en pra- 

 tique déjà depuis longtemps, quoique ce soit Tchébycheff qui ait le premier 

 formulé cette théorie et ait montré ses applications les plus importantes. 



Ainsi, par exemple, déjà le grand Euler( :|: ), dans son Mémoire sur la 

 projection de Delisle, tire les considérations suivantes : 



Considérons la projection conique déterminée par les formules : 



x = (b — u) cos (kv -j- /), 

 y =(b — u) sin (kv -{- /), 



où b est le rayon de l'équateur sur la carte, et /.-, / deux autres quantités 

 constantes; on peut poser / = 0, ce qui correspond à prendre le premier 

 méridien sur la carte pour l'axe des x. 



Au cas de la représentation de la sphère, nous obtenons l'équation de 

 l'ellipse d'altération : 



1 ^ k\b-uf 

 cos 2 u 



Euler cherche deux coefficients k, b. à condition que la fonction : 



f(x) = k(b — x) — cos x, 



(*) F.i/ler: DeProjectwne geographlca Delisliana in mappa générait lmperii Russici usilata. Acla 

 Acad. Petropoîitanœ pro anno MDCCLXXVII, pars prior. 



