D r D.-A. GRAVÉ. — MEILLEURE REPRÉSENTATION D'UNE CONTRÉE DONNÉE 107 



Ses considérations étant fondées sur les développements en séries ont 

 évidemment lieu pour les contrées de petites dimensions. 



M. Tissot propose la théorie nouvelle de la construction des meilleures 

 projections fondées sur les principes suivants : 



1° Les angles peuvent varier, à condition seulement que leurs altéra- 

 tions soient assez petites pour que chaque feuille de la carte représente un 

 vrai levé topographique; 



2° Le rapport d'agrandissement variera évidemment d'une feuille à 

 l'autre. 11 faut faire cette variation la plus petite possible; 



3° Les formules qui donnent les coordonnées rectangulaires de la carie, 

 en fonction de la longitude et de la latitude, doivent être les plus simples 

 possible pour faciliter le calcul d'un grand nombre de points sur la carte. 



Pour satisfaire à ces exigences, M. Tissot part du développement des 

 coordonnées rectangulaires en séries ordonnées d'après les puissances des 

 différences des longitudes et des latitudes. Ces considérations sont ana- 

 logues à celles de Lagrange et ne sont applicables qu'aux contrées d'une 

 étendue restreinte. Il faut faire bien attention qu'on a toujours de bonnes 

 cartes si la contrée représentée n'a pas une grande étendue, quelque pro- 

 jection orthomorphe que nous prenions. Les altérations des figures 

 deviennent sensibles dans les caries de contrées plus étendues, et alors 

 se présente la question importante de faire ces altérations les plus petites 

 possible pour tous les points à l'intérieur d'un contour considéré. 



Cette question est indéfinie en elle-même, parce que l'on peut concevoir 

 cette moindre altération de plusieurs façons. La manière la plus habituelle 

 de traiter de pareilles questions consiste à employer la méthode des 

 moindres carrés. Cette méthode, par exemple, a été employée par l'astro- 

 nome Airy dans le calcul d'une projection centrale appelée par lui : 

 Projection by balance of errors. On sait que la projection centrale com- 

 prend une fonction arbitraire, le rayon d'almicantara sur la carte. Airy 

 fait minimum la somme des carrés des erreurs étendue à la surface entière 

 d'un des almicantaras. Nous parvenons de cette sorte à la considération 



d'un minimum de l'intégrale 



(1) 



/■/KHW--'): 



dxdy, 



où a et h sont les demi-axes de l'ellipse de l'altération. De cette manière, 

 Airy désire avoir une projection qui s'écarte peu de la conservation des 

 surfaces et des angles. 



Le problème est amené de cette façon à la recherche de la fonction qui 

 donne le rayon d'almicantara, de sorte que l'intégrale (1) soit minimum, 



