P. BARBARIN. — SYSTÈMES IS0G0NAUX DU TRIANGLE 1 C> 



Il est aisé de vérifier que les points a, (ï, y sont sur la droite : 



x sin A' -f- y sin B' + z s ' a C = ; 



mais on trouve en même temps trois autres systèmes isogonaux égale- 

 ment rectilignes ; il suffit pour cela de substituer à I chacun de ses har- 

 moniquement associés. Ainsi, remplaçons x Q ,y , z (j par — x , y , z Q , cela 

 revient à remplacer u, v, w par u — v — %o ; on obtient alors un système 

 isogonal rectiligne x l5 p l5 y, appartenant à la droite : 



— x sin A' -j- y sin B' + z sin C = ; 



deux autres ?-^,;;., x s p 8 Y3 peuvent être constitués de la même façon. 



Quand A' demeure constant, et que B' C varient, leur somme est cons- 

 tante ; I se déplace sur une courbe du quatrième degré ; py, p^i dé- 

 crivent deux droites fixes, et a^ la même conique, enveloppe des droites 

 *?';■ *iPiTi- Pour A' = A, angle du triangle de référence, celle conique 

 est la parabole qui a son foyer en A et BC pour directrice. 



Je me bornerai à signaler deux cas particuliers : 



\ 



1° u =z v = w = - • I„ est le centre du cercle inscrit ; A' = B' = C 



là 



= 60° ; oepy est la pédale des bissectrices externes ; cette ligne jouit donc 

 de la propriété que voici : si on la fait couper en a avec la bissectrice in- 

 terne de A, la distance de a au côté BC est double de ses distances aux 

 côtés AB, AC ; de même pour p et y ; «,6^,, a 2l 3 2 y 2 , a 3 (3 3 y 3 sont les trois 

 autres pédales de bissectrices ; chacune d'elles montre que ces neuf points 

 ont des propriétés analogues à celles de a(3y ; 



°2° A' = A, B' = B, C == C. I est l'orthocentre H, a, p, y sont à l'in- 

 fini sur les hauteurs ; menons par A les perpendiculaires aux côtés BC, 

 AC, AB; a n p x , y t sont les intersections respectives de ces droites avec celle 

 qui joint le milieu de AC à celui de AB et les angles ACoq BC^ sont 

 égaux, ainsi que ABa7et CÏÏy7; Bpi et Cyj ont pour intersection le point 

 harmoniquemenl associé de H sur la hauteur AH. 



