104 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



8' et o" s'y trouvent également. Alors D,D', D"sontQa ,Q(3 , Qy . —Même 

 propriété pour le point R. Ainsi, quand I est au centre de gravité G, et 

 que H est l'hyperbole de Kiepert, on a P — 1 = ; t = dz 1 prouve 

 que Q est au centre O, et R au point de Lemoine L. 



Le théorème s'applique très bien au cercle circonscrit du triangle. Soit I 

 confondu avec le point de rencontre de ce cercle et d'une hauteur, I est 

 le centre d'une hyperbole passant par les centres des quatre cercles tan- 

 gents, h, h', h" ont leurs asymptotes parallèles à celles de cette courbe et 

 si on met o à l'infini dans la direction d'une de ces droites, o' et 8" sont 

 aussi à l'infini dans cette même direction ; alors D, D', D" sont les paral- 

 lèles à cette asymptote, tirées par a , (3 , y . On a ainsi un moyen de trouver 

 le cercle circonscrit comme lieu de centres isogonaux I ; il serait aisé d'en 

 signaler une infinité d'autres. 



Systèmes rectilignes associés. — Soient x , y Q , z les coordonnées du 

 centre donné I . Parmi tous les systèmes isogonaux qui ont ce point pour 

 centre, il y en a toujours un au moins dans lequel les sommets a, (3, y 

 correspondants, sont en ligne droite. En effet, les valeurs de u, v. w qui 

 conviennent à ce cas particulier, sont données par les équations : 



1 



ux — vy — wz — - ? 



v- 4- v* 4- w- -j- luviv = 1 ; 

 dont est racine de l'équation : 



et celle-ci a une, deux ou trois racines réelles suivant que 



/1 +i + ^y>o. 



<y>l W y; *J 



Soient A', B'. C trois angles positifs de somme égale à t: ; ils sont déter- 

 minés par : 



cos A' = m, cos B' = v, cos C = w. 



