P. BARBARIN. — SYSTÈMES ISOGONAUX DU TRIANGLE 103 



lieux des hauteurs correspondantes; il en résulte une autre génération par- 

 ticulière de H. 



Chaque génération de H est corrélative à une génération analogue de A, 

 droite inverse de H, et diamètre de Brocard : 



x sin (B — C) + y sin (C - A) + z sin (A — B) = 0. 



Soient, par exemple, «,'„ pi, y,', lô les inverses de <x , p , y , I ; D, D', D" 

 correspondent à trois coniques inverses T, T, r" circonscrites au triangle, et 

 tangentes à Ai;, Bi;, Ci; ;ce sont les lieux respectifs de a', p', y'. A est le 

 lieu de leur centre Y. Quand on prend pour l le point de Lemoine L et 

 qu'on fait passer r par l'orthocentre, r est l'hyperbole équilatère circons- 

 crite au triangle et tangente à une symédiane, autrement dit. r est in- 

 verse d'une médiatrice, ainsi que r' et r" ; donc, si on construit sur les 

 côtés de ABC des triangles isoscèles semblables ABy, BC*, CAS, Cp et By, 

 Ayet Ca, Ik et Ap se coupent respectivement en a', p', y' points isogonaux 

 dont le centre Y appartient au diamètre A. En construisant les hyper- 

 boles circonscrites au triangle, tangentes aux symédianes et passant par 

 les points harmoniquement associés de l'orthocentre, on a les lieux de 

 nouveaux points isogonaux a", p'", y'" qui font retrouver le même point I'. 



Théorème. — Quand D, D', D" pivotent autour de trois points fixes a , p , y 

 appartenant aux côtés de référence, h, h', h" ont deux pointa Q, R com- 

 muns, et par suite toute conique H circonscrite à ABC peut être de deux 

 façons différentes, susceptible d'une génération particulière liée à des posi- 

 tions concourantes de D, JX, D". 



Car dans ce cas, les coniques h, h', h" ont pour équations : 



= t 



elles se coupent en I et en deux points Q, R, réels ou imaginaires à la 

 fois. Ils sont donnés sur A par les deux équations : 



\ttCx y z. () t* + (kx + By + Ca ) = °> 

 Aa: 2 By 2 C:-- __ 



x o y« s o 



Celle dernière équation représente une conique conjuguée au triangle 

 et contenant les centres des cercles tangents aux côtés. Plaçons o en Q, 



