102 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Générations isogonales de l'Hyperbole de Kiepert, et du diamètre de 



Brocard. 



Toute droite A du plan, et toute conique H circonscrite à ABC peu- 

 vent être décrites d'une infinité de manières par des centres isogonaux 

 soumis à certaines conditions. Appliquons en particulier le théorème à 

 l'Hyperbole remarquable de Kiepert: 



sin (B — C) sin (C — A) sin (A — B _ 



<>• 



.'/ 



Soit I un de ses points. AI , BI , Cï coupent les côtés de référence en 

 a , (3 , y qui forment un système isogonal répondant à u = 0, v = 0, 

 w = 0. Soient x , y , z les coordonnées de I el prenons les paramètres 

 /, y., v de sorte que : 



*■*•(> _ Mo __ vs o __ 

 sjfi (B — C) — sin (G — A) ~~ sin (A — B) — p ' 



les coniques h, h', h" sont circonscrites aux quadrilatères AI , p , Yo • • • et 

 le pôle de AI relatif à h est \' rencontre de A avec BC. Si on place T 

 au centre de gravité G, <x , [3 . y„ sont les milieux des côtés,/*, //, h" passent 

 toutes par le centre du cercle circonscrit. Alors : 



sin A sin (B — C) sin B sin (C — A) sin C sin (A — B) 



—i 



~ sin (B — C) sin (G — A) sin (A — B) ' 



donc en mettant S en 0, 8' et 8" s'y trouvent aussi ; D, D', D" sont les mé- 

 diatrices du triangle, et oc, p, y, points isogonaux appartenant à ces lignes, 

 sont sommets des triangles isoscèles ABy, BCa, CAS, semblables. On re- 

 trouve aussi la génération particulière qui a servi de point de départ à 

 l'étude des nombreuses propriétés de la courbe; faisons maintenant dé- 

 placerB le long de h, et par suite 3', o" sur h', h". Les nouvelles lignes 

 D, D', D" que représentent 7. , o'S , o"y conduisent à de nouvelles géné- 

 rations en nombre indéfini. En même temps, soient a", p", y" correspon- 

 dants à a, S, y dans le système concentrique conjugué ( — u — v — w) ; ils 

 décrivent les droites D„ D[, D" qui joignent les milieux des côtés aux mi- 



