P. BARBARIN. — SYSTÈMES ISOGONAUX DU TRIANGLE 99 



I' à la droite inverse A : 



A* -}- % =f= Cz — ; 



A coupe les côtés de référence en ;', r,', Ç' points isogonaux deç, vj, Ç.Hest 

 circonscrite à ABC et tangente à A;, Byj, CÇ. Enfin Uet U' décrivent des 

 quartiques. 



Propriétés de la conique H et de la droite A. 



H passe évidemment parT position particulière del quand a, ("}, y sont en 

 a 15 b l5 c t (m = o, u = o, to = o). Comme son équation est indépendante 

 de À, a, v, I et T décrivent constamment H et A quand l, p, v varient de 

 toutes façons tout en gardant une somme nulle ; ce qui arrive toujours 

 quand T appartient à H. Cette remarque conduit à un théorème général 

 dont nous verrons, par la suite, les importantes conséquences. 



Théorème. — Envisageons le système des droites D, B', B", trajectoires 

 isogonales des points a, (3, y ; 



1° Soient a , S , y , 'o l es sommets et le centre d'un système isogonal ré- 

 pondant à u , v , w . Quand on fait pivoter D, D', B" autour de a , (3 , 

 y , leurs intersections mutuelles 8, o', S" décrivent trois coniques déter- 

 minées h, h', h"; 



2° Prenons à volonté 8 sur h, joignons-le à |ï e/ y ; tes droites B', B', 

 amsi obtenues coupent h' e/ h" respectivement en S" eJ o'; o' S" esJ /a 

 dfarife B gui, passant par a , complète le systèmel), B', B". Par conséquent 

 à chaque point a <Ze B répondent sur B' t'/ B" cteia; pointe [3 e£ y te/s 

 gwe a^y so&7 isogonal. Le centre I cte teur système décrit II. So/i inverse 

 Y décrit A; 



3° Çua//(/ 8 /y//7(? sur h le triangle 8, o', 8" se déforme tout en restant 

 inscrit dans le système h, h', h"; on a une infinité de genres de systèmes 

 isogonaux dont les eut très I sont toujours sur H ; 



4° Si on substitue à a , p , y , I im quelconque des systèmes isogonaux 

 correspondant aux autres positions K de 1 sur il, celle-ci demeure tou- 

 jours, malgré la déformation des coniques h, h', h" le lieu des centres 

 isogonaux qui dépendent de Iô. 



D'après l'hypothèse, les neuf paramètres A, B, C, u , v , w , X, ja, v 

 sont liés par les relations : 



1 + [j.Cw — vBv =0, 

 1 -[- vAw — lCw — 0, 

 1 -j- lBv — \xXu Q = 0, 

 X + p. + v = 0, 

 Aw + Br -f Civ — ; 



