P. BARIiAIUN. — SYSTÈMES ISOGON'AUX DU TRIANGLE 97 



La première a son pôle U au centre de gravité G du triangle ABC ; on 

 sait qu'elle passe par les milieux des côtés et des hauteurs, par l'ortho- 

 centre H, le centre du cercle circonscrit 0. le point de Lemoine L, les 

 points de rencontre des lignes joignant les sommets ABC aux milieux 

 •des hauteurs, et qu'elle est tangente aux symédianes. Plaçons I en H, 

 a6y sont aux milieux respectifs des hauteurs, et forment le système 

 isogonal le plus simple. Les lignes qui joignent ces milieux à un point 

 quelconque de la cubique coupant les côtés du triangle en m, m', m", Ain, 

 Bni, Cm" convergent en un point N dont le lieu est une autre cubique 

 tangente aux hauteurs. 



La seconde cubique a pour pôle U le symétrique H' de H par rapport 

 à ; elle passe aussi par et H. Le système isogonal le plus simple 

 qu'elle renferme s'obtient en plaçant les points afty à l'infini sur les 

 hauteurs, auxquelles sont parallèles ses asymptotes, donc elle est le lieu 

 des points M tels qu'en les projetant orlhogonalement en m, m', m" sur les 

 côtés du triangle, km, B/;i', Cm" soient concourantes. Le point de concours 

 N' décrit la même cubique que N précédemment, ou : 



£ sin 2 A (z cos C — y cos B) x % = 0, 

 tangente aux hauteurs. 



Déplacements rectilignes des points isogonaux (u, v, w). 



Théorème. — Si a et 8 décrivent des droites DD', y décrit une droite D". 

 Soient ABC trois quantités données, et \, [x, v trois paramètres soumis à 

 la condition : 



X'+ |* + v = 0. 

 Supposons que a et S décrivent respectivement les droites D, !>': 



m, v, tv sont liés par les relations : 



1 + ;,.C,r — vB = 0, 



1 +vAw — lCw=0, (8) 



qui entraînent : 



1 + XBv — [j.\u = ; 



