98 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Pour avoir le lieu décrit par N, il faut éliminer x u y u z x entre les équa- 

 tions de Aro, Bnï, Cm". Le résultat est : 



(1 — w 2 ) x 1 {vy — wz) + (I — V 1 ) tf (wz — ux) 



+ (1 — w 2 ) z*-(ux — vy) = 0. (7) 



La cubique ainsi obtenue passe par ABCUI et les points de rencontre 

 respectifs de aa', pp', yy' avec les côtés de référence ; IA, IB, 1C lui sont 

 tangents, elle contient également le point P de coordonnées : 



»(— 5) = *('~5) = "("'~«)'' 



Mais sa forme change avec la position donnée à I sur la cubique (5) quand 

 U demeure fixe. On peut aisément remarquer que Ua, Up, Uy coupent 

 respectivement UV, U'p", U'y" sur les côtés de référence en a u p 15 Tl . 

 P est précisément la rencontre de Aa 15 Ap n C Tl . De plus, la cubique (7) 

 reste la même quand u, v, w changent de signe, ou quand on substitue 

 à a, p, y le système concentrique a", p", y" ; donc N étant un point de 

 cette cubique, NA, NB, NC coupent les côtés de référence en m u m' t , m'î et 

 <x"m,, fin,, y"m'; convergent en un point M, de la cubique de vingt points (5'); 



(u + vw) x (y 2 — s 2 ) + (v + um) y (s 2 — %*) + (to + uo) z (x 2 — y 2 ) = 0. 



i 1 1 



Le lieu de N t se déduirait de celui de N en remplaçant u, v, te par - - - • 



Les cubiques (5) et (7) se réduisent à un groupe de trois bissectrices 

 concourantes si w 2 = v 2 = w\ sont indéterminées si : 



M 2 = î; 2 ~ w 2 = 1. 



Donc si on joint un point quelconque M du plan aux centres exinscrits 

 du triangle ABC, et qu'an fasse couper ces droites respectivement avec les 

 côtés du triangle en m, m', m", km, Bm', Cm" sont concourantes en N. 



Réciproquement, N étant un point quelconque du plan, les lignes AN, 

 BN, CN coupent les côtés du triangle en m, m', m" ; les lignes qui joignent 

 ces points aux trois centres exinscrits de ABC convergent en un même 



point M. 



La famille isogonale contient deux cubiques remarquables correspon- 

 dantes à : 



cos A cos B cos C 



= ±i. 



