P. BARBARIN. — SYSTÈMES ISOGONAUX DU TRIANGLE 95 



ceux-ci, joints à ABC, donnent six sécantes qui coupent de nouveau la 

 cubique aux six sommets aBy, a'B'y' demandés. Il résulte de cette cons- 

 truction que U' pôle du système inverse décrit la courbe polaire de la 

 cubique par rapport à V ; cette polaire est la conique : 



L 2 (if - z -) + M 2 (s 2 — x*) + N 2 [x 1 — y*) = 0, 



qui passe par U et les quatre centres des cercles inscrits. Chaque posi- 

 tion donnée à U' sur celte courbe détermine la sécante U' et par suite 

 les systèmes isogonaux qui admettent ces centres, suivant ce qui a été 

 expliqué plus haut'. 



Théorème. — La cubique des vingt points est le lieu des points M tels que 

 aBy étant un des systèmes isogonaux de pôle U qu'elle renferme, Ma, MB. 

 My coupent les côtés du triangle de référence en m, m', m" de sorte que 

 Am, Bm', Cm" concourent en N. 



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Soient #,, v., z. les coordonnées de M, et celles du centre I qu'on 



l ' ai 1 uvw 



suppose donné . L'équation de Ma étant: 



z -\- vx y -\- wx 



celle de Am est 



y 



*i -V vœ t y l + wx x 

 de même celles de Bm' et Cm" sont respectivement 



x z y 



®i + wy t st x -\- uy l y ± + uz t x y + vz t ' 



la condition de convergence est donc : 



(*, + ra,) (x t + wy t ) fa + uy v ) — (y ± + wxj {z, + uy t ) fa -f vz 1 )'= 0; 



elle exprime que M est sur la cubique (5). Supposons U fixe, 1 peut se 

 déplacer le long de la cubique sans que le théorème cesse d'être vrai. 

 Enfin, comme la substitution de F à I entraîne celle de a'B'y', à aBy, si 

 M est un point de la cubique, M-/, MB', My' coupent également les côtés 

 de référence en m,, m[, m[' et Am 15 V>m[, Cm'i sont convergentes en N,. 



